# 4.1数学期望

## 阅读入口

* [数学期望](/knowledge/maths/probability/expectation/)
* [分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)
* [条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)
* [随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/)

## 期望的定义

期望是随机变量的**概率加权平均**，不一定是变量能够实际取到的值。例如掷一枚均匀骰子，点数本身只能是 $1$ 到 $6$，而点数的期望是 $\frac{1+2+\cdots+6}{6}=\frac72$。

按随机变量的类型，期望的定义分为两种形式（参见[离散型随机变量](/knowledge/maths/probability/discrete-distributions/)与[连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/)）：

* **离散型**：若 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_k\}=p_k$，则
  $$
  E(X)=\sum_k x_kp_k,
  $$
  要求 $\sum_k|x_k|p_k<\infty$。
* **连续型**：若 $X$ 的概率密度为 $f$，则
  $$
  E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm dx,
  $$
  要求 $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)\,\mathrm dx<\infty$。

两种定义都可以看作“取值乘以相应概率”再累加，离散型用求和、连续型用积分。满足上述绝对收敛条件时，期望是唯一确定的实数；不满足时称期望不存在。

> [!WARNING]
> **绝对收敛的要求不能省**
>
> 若正、负两部分的积分都发散，不能借助对称性抵消来定义期望。标准柯西分布的密度为
>
> $$
> f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)},\qquad -\infty<x<+\infty,
> $$
>
> 它关于 $y$ 轴对称，但 $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)\,\mathrm dx$ 发散，所以柯西分布的期望不存在，不能说它等于 $0$。对称性只说明正负两部分的“贡献”相互抵消，不说明整体可积。

[来源：数学期望](/knowledge/maths/probability/expectation/#definition)

绝对收敛是期望定义的一部分；判断期望是否存在要先于计算，对称性用来判断积分值，收敛性需要单独核对。

## 指示变量法

对事件 $A$，定义**指示变量**

$$
I_A=\begin{cases}1,&A\text{ 发生},\\0,&A\text{ 不发生},\end{cases}
$$

则

$$
E(I_A)=1\times P(A)+0\times P(\bar A)=P(A).
$$

指示变量的期望就是事件的概率。若随机变量 $N$ 计数若干事件发生的个数，把它写成 $N=\sum_i I_{A_i}$，由期望的线性性质便有

$$
E(N)=\sum_iE(I_{A_i})=\sum_iP(A_i).
$$

这个做法通常比求出 $N$ 的完整分布更简单，而且**不要求各事件独立**：线性性质不需要独立性，$P(A_i)$ 也只要逐个求出即可。

**帽子问题**

$n$ 个人随机取回各自寄存的帽子，一人一顶。令 $I_i$ 表示第 $i$ 人是否取到自己的帽子，则 $I_i$ 是 $A_i=\{\text{第 }i\text{ 人取到自己的帽子}\}$ 的指示变量。

由对称性，第 $i$ 个人取到自己帽子的概率为 $\frac1n$，故 $P(A_i)=\frac1n$。取对人数 $N=\sum_{i=1}^nI_i$ 的期望为

$$
E(N)=\sum_{i=1}^n\frac1n=n\times\frac1n=1.
$$

无论人数多少，平均恰有一个人取到自己的帽子。注意取对人数并非常数，$N$ 仍可能取 $0$、$2$ 等其他值；而 $A_i$ 之间并不独立。

[来源：指示变量](/knowledge/maths/probability/indicator-variable/#definition)

指示变量的取值只有 $0$、$1$，所以 $E(I_A)=P(A)$ 一步就能算；4.2证明切比雪夫不等式时也会再借它一次。

## 条件期望与全期望公式

给定 $Y$ 的某个取值时，$X$ 的**条件期望**是在条件分布下算出的期望。若 $X$ 与 $Y$ 都是离散型，$P\{Y=y_j\}>0$，则

$$
E(X\mid Y=y_j)=\sum_i x_iP\{X=x_i\mid Y=y_j\};
$$

若 $X$ 为连续型，$Y$ 的密度 $f_Y$ 在 $y$ 处为正，则

$$
E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx,
$$

其中 $f_{X\mid Y}$ 是条件密度，它由联合密度除以边缘密度 $f_Y(y)$ 得到，具体写法见[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)。

[来源：条件期望](/knowledge/maths/probability/conditional-expectation/#definition)

把 $E(X\mid Y)$ 整体看作 $Y$ 的函数，它就是一个随机变量：当 $Y=y_j$ 时取 $E(X\mid Y=y_j)$，当 $Y=y$ 时取 $E(X\mid Y=y)$。**全期望公式**把它再取一次期望，得到 $X$ 的无条件期望：

$$
E(X)=E\bigl[E(X\mid Y)\bigr].
$$

按 $Y$ 的取值展开，就是

$$
E(X)=\sum_jE(X\mid Y=y_j)P\{Y=y_j\}\qquad(Y\text{ 离散}),
$$

或

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}E(X\mid Y=y)f_Y(y)\,\mathrm dy\qquad(Y\text{ 连续}).
$$

**证明**

离散情形。把 $P\{X=x_i\}$ 按 $Y$ 的取值分组（对 $P\{Y=y_j\}>0$ 的 $j$），

$$
\begin{aligned}
E(X)
&=\sum_i x_iP\{X=x_i\}
=\sum_i x_i\sum_jP\{X=x_i,\ Y=y_j\}\\
&=\sum_jP\{Y=y_j\}\sum_i x_i\frac{P\{X=x_i,\ Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}
=\sum_jP\{Y=y_j\}E(X\mid Y=y_j).
\end{aligned}
$$

第一步是分布律的加法公式，第二步交换求和次序，第三步用条件分布律的定义，最后一步是条件期望的定义。连续情形把求和换成积分、分布律换成密度，论证相同。

> [!TIP]
> **解题顺序**
>
> 总体由多种情形混合时，先在每种情形下求平均，再按情形概率加权。先分层、后平均，通常比直接对总体建模简单；反过来，若题目给出了总体平均与各层比例，也可以反推某一层的条件均值。

[来源：条件期望](/knowledge/maths/probability/conditional-expectation/#properties)

条件期望 $E(X\mid Y)$ 是 $Y$ 的函数，也就是随机变量；把它的期望写回 $E(X)$，就是4.2全方差公式的起点。

## 学习安排

第4章的数字特征都由期望统一定义：方差是 $(X-E(X))^2$ 的期望，协方差是两个变量乘积的期望。所以4.1的公式是后面三节的共同基础，按顺序读4.1、4.2、4.3、4.4时，后三节只是不断把不同的 $g(X,Y)$ 代入期望的定义。

这一节内部的顺序建议是：先确认期望存在（绝对收敛），再练随机变量函数的期望，最后进入指示变量法和全期望公式。后两种方法处理的是“分布难求”的情形，也是本章主要的解题手段。

常见分布的期望数值汇总在速查页；推导方法要能独立写出，尤其是指示变量法。

## 课程约定

* 期望记 $E(X)$；方差在本课程中记 $D(X)$，与知识点页面里的 $\operatorname{Var}(X)$ 是同一个量。
* 期望存在的判断放在计算之前：离散型检查 $\sum_k|x_k|p_k$，连续型检查 $\int|x|f(x)\,\mathrm dx$；不满足绝对收敛时直接说期望不存在。
* 指示变量按 $I_A=1$（$A$ 发生）、$I_A=0$（否则）定义，一切从 $E(I_A)=P(A)$ 出发。
* “随机变量的函数”指 $g(X)$、$g(X,Y)$ 这类变量；函数期望公式可以直接使用原变量的分布。

## 重点

* 线性性质 $E\left(\sum_i a_iX_i+b\right)=\sum_i a_iE(X_i)+b$ 与独立性无关，是这一章用得最多的一条。
* 指示变量法把计数变量拆成若干指示变量之和，既不需要各事件独立，也不需要先求分布律。
* 全期望公式 $E(X)=E[E(X\mid Y)]$ 处理分层结构：先在每种情形内求平均，再按情形概率加权。

## 易错点

* 对称分布不一定有期望。标准柯西分布的密度关于零对称，但正、负两部分的绝对值积分都发散，期望不存在，不能用对称性把期望抵消为零。
* $E(XY)=E(X)E(Y)$ 要求 $X$、$Y$ 相互独立且相应的期望都存在；线性性质则不需要独立。两条性质的条件不同，不能互相套用。
* $E[g(X)]$ 一般不等于 $g(E(X))$，只有 $g$ 为线性函数时才恒等。
* $E(X^2)$ 是二阶原点矩，$[E(X)]^2$ 是期望的平方，两者不同；4.2的方差公式依赖它们的差。
* 全期望公式只是在按 $Y$ 分层求和，条件期望 $E(X\mid Y)$ 本身是随机变量，不是常数。

## 复习要点

遇到“平均有多少人／多少次”这类问题，先看能不能写成指示变量之和再取期望，通常一步就能得到答案。遇到按类别分层的总体，先写出 $E(X\mid Y=y)$，再按 $Y$ 的分布加权。两个公式都用过之后，回到定义检查绝对收敛性，避免对柯西型分布直接使用对称性。