# 8.1假设检验的基本概念

## 阅读入口

* [假设检验](/knowledge/maths/statistics/hypothesis-testing/)
* [假设检验中的错误与功效](/knowledge/maths/statistics/test-errors/)
* [$p$ 值](/knowledge/maths/statistics/p-value/)
* [区间估计](/knowledge/maths/statistics/interval-estimation/)
* [抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)

## 原假设与备择假设

**假设检验**先对总体参数提出两个互相对立的假设，再用样本判断是否有足够证据拒绝其中一个：

* **原假设** $H_0$：接受检验的基准主张，通常表示“没有差异”“没有效应”，或参数等于某个给定值。
* **备择假设** $H_1$：希望用数据发现证据支持的方向，与原假设互补。

按备择假设的方向，检验分为三类：

| 类型 | 常用写法                                          | 拒绝方向     |
| :- | :-------------------------------------------- | :------- |
| 双侧 | $H_0:\theta=\theta_0,\ H_1:\theta\ne\theta_0$ | 统计量过大或过小 |
| 右侧 | $H_0:\theta\le\theta_0,\ H_1:\theta>\theta_0$ | 统计量过大    |
| 左侧 | $H_0:\theta\ge\theta_0,\ H_1:\theta<\theta_0$ | 统计量过小    |

检验统计量只由样本决定，并在 $H_0$ 下服从已知分布；使 $H_0$ 被拒绝的样本取值范围称为**拒绝域**。单侧检验的参考分布通常取在边界 $\theta=\theta_0$ 处：$H_0$ 允许一整段参数值，但常用检验的拒绝概率在边界处最大，控制住边界就控制住整个原假设。检验方向必须依据研究问题在收集数据之前确定，不能看过样本结果后再选择更容易显著的一侧。

[来源：假设检验](/knowledge/maths/statistics/hypothesis-testing/#definition)

这一段把“拒绝域落在哪一侧”交给 $H_1$ 决定，8.2与8.3的例题都按这个顺序写假设；方向确定之后再算统计量。

## 两类错误与功效

检验的结论可能与真实情况不符，有两种错误：

* **第一类错误**：$H_0$ 为真却拒绝了 $H_0$，也称“弃真”。其概率通常记为 $\alpha$，由显著性水平控制。
* **第二类错误**：$H_0$ 为假却没有拒绝 $H_0$，也称“取伪”。其概率记为 $\beta(\theta)$，依赖真实的参数值 $\theta$。
* **功效**：$1-\beta(\theta)$，即 $H_0$ 为假时正确拒绝的概率。真实参数离 $\theta_0$ 越远，功效通常越高。

在复合原假设 $H_0:\theta\in\Theta_0$ 下，“水平为 $\alpha$”的准确含义是对所有 $\theta\in\Theta_0$ 都有

$$
\sup_{\theta\in\Theta_0}P_\theta\{\text{拒绝 }H_0\}\le\alpha,
$$

即最坏情形下的第一类错误概率不超过 $\alpha$。

固定样本量时，减小第一类错误通常会使第二类错误增大：把拒绝门槛收紧，真正有差异时也更难拒绝。增加样本量可以在保持 $\alpha$ 不变的前提下降低 $\beta$，提高对固定差异的检验功效。

[来源：假设检验中的错误与功效](/knowledge/maths/statistics/test-errors/#definition)

两类错误的定义只在这里完整给出一次，紧接着就是五步流程；复习时把 $\alpha$ 与 $\beta$ 各自的条件写在同一行，避免混用。

## $p$ 值

**$p$ 值**是在 $H_0$ 成立的前提下，出现与观测结果同样极端或更极端结果的概率。“极端”的方向由备择假设与检验统计量事先规定，不能事后挑选。

若检验统计量在 $H_0$ 下服从标准正态分布，观测值为 $z$，则

$$
\text{右侧：}\ p=1-\Phi(z),\qquad
\text{左侧：}\ p=\Phi(z),\qquad
\text{双侧：}\ p=2[1-\Phi(|z|)],
$$

其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。本页用 $z_\alpha$ 表示标准正态的上 $\alpha$ 分位点，即 $P\{Z>z_\alpha\}=\alpha$；分位点的完整定义见[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。一般地，$p$ 值等于“从观测值出发、沿拒绝方向更极端”的那部分概率。若 $p\le\alpha$，则拒绝 $H_0$；连续分布中边界取不取等号不影响概率。

> [!CAUTION]
> **$p$ 值的三个常见误解**
>
> $p$ 值不是“$H_0$ 为真的概率”，也不是“结论出错的概率”，更不是效应大小的度量。它只回答“如果 $H_0$ 成立，当前数据有多不寻常”。统计显著也不等于差异在实际中足够重要，判断时还要看效应大小与置信区间。

[来源：$p$ 值](/knowledge/maths/statistics/p-value/#definition)

$p$ 值这一段只到标准正态，8.2起要换成 $t$、$\chi^2$、$F$ 的尾概率，但“沿拒绝方向更极端”这一条不变。

## 学习安排

教材先区分原假设与备择假设，再用两类错误说明 $\alpha$ 与 $\beta$ 的取舍，随后给出五步检验流程，最后用 $p$ 值与置信区间两种等价表述收尾。这个顺序把“提出假设—控制错误—执行检验—解释结论”连成一条线。

复习时按“写假设 → 选统计量 → 定拒绝域或算 $p$ 值 → 下结论”走一遍，再回看两类错误的定义。与区间估计的联系放在最后检查，不要一开始就把两种方法混着用。

## 课程约定

* 结论措辞统一写“拒绝 $H_0$”或“不拒绝 $H_0$”，不写“接受 $H_0$”。
* 单侧检验在边界 $\theta=\theta_0$ 处计算参考分布；方向由研究问题事先确定，不能看过数据再选。
* 拒绝域与 $p$ 值是同一判断的两种写法，答题时选一种并写清依据即可，不必两套都展开。

## 重点

* 两类错误的概率主体不同：$\alpha$ 在 $H_0$ 为真时定义，$\beta$ 随真实参数值变化，功效也随之变化。
* $p$ 值的方向由备择假设决定，双侧要计入两个方向的极端结果。
* 双侧检验与置信区间可以互相翻译，但前提是同一模型、同一枢轴量与同一尾概率分配。

## 易错点

> [!WARNING]
> **$p$ 值的含义**
>
> 不要把 $p$ 值理解为“原假设为真的概率”。它是在 $H_0$ 成立时观察到当前或更极端结果的概率；检验错误率需要结合假设的真实状态和决策规则来定义。

> [!CAUTION]
> **不拒绝不等于证明**
>
> 样本量不足时，实际存在的差异也可能检不出来。答题时不要写“证明 $H_0$ 成立”。

> [!NOTE]
> **多重检验**
>
> 反复做检验会让至少一次误拒绝的概率变大，不能把单次检验的 $\alpha$ 当作整体错误率。

## 复习要点

用同一组数据分别写拒绝域与 $p$ 值两种判断，再检查对应的置信区间是否给出相同结论。若换了近似方法、单双侧或尾概率分配，先确认等价关系是否还成立，再下结论。