# 8.2单个正态总体的假设检验

## 阅读入口

* [单个正态总体均值检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-tests/)
* [单个正态总体方差检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-variance-test/)
* [假设检验的基本概念](/knowledge/maths/statistics/hypothesis-testing/)
* [抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)

## 设定与记号

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar X$ 与 $S^2$ 分别为样本均值和分母为 $n-1$ 的样本方差。检验以原假设为基准，方向和显著性水平应事先确定。

[来源：单个正态总体均值检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-tests/#definition)

均值检验中应先确认总体标准差 $\sigma$ 是已知量还是需要由样本估计。

## 均值检验

检验 $H_0:\mu=\mu_0$ 时，统计量的选择只取决于 $\sigma$ 是否已知。

**方差已知。** 此时 $\sigma$ 是已知常数，用

$$
Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\qquad(H_0:\mu=\mu_0).
$$

**方差未知。** 此时 $\sigma$ 只能由样本估计，把分母中的 $\sigma$ 换成样本标准差 $S$，用

$$
T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\qquad(H_0:\mu=\mu_0).
$$

两个统计量的差别只在分母：一个是已知的 $\sigma/\sqrt n$，另一个是由同一样本算出的 $S/\sqrt n$，也就是**标准误**。换用 $S$ 之后分布也从标准正态变成自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，自由度来自 $S^2$ 中 $\bar X$ 占用了一个约束。

以下 $q_\alpha$ 在 $Z$ 检验中表示 $z_\alpha$，在 $t$ 检验中表示 $t_\alpha(n-1)$，均为上 $\alpha$ 分位点；两种检验的拒绝域形状相同：

| 备择假设          | 拒绝域                                                                |
| :------------ | :----------------------------------------------------------------- |
| $\mu\ne\mu_0$ | $\lvert Z\rvert>z_{\alpha/2}$ 或 $\lvert T\rvert>t_{\alpha/2}(n-1)$ |
| $\mu>\mu_0$   | 统计量大于 $q_{\alpha}$                                                 |
| $\mu<\mu_0$   | 统计量小于 $q_{1-\alpha}=-q_{\alpha}$                                   |

双侧检验把 $\alpha$ 平均分到两侧尾部，所以用 $\alpha/2$ 的分位点；单侧检验把整个 $\alpha$ 放在备择假设所指的那一侧。备择方向必须由研究问题事先确定，不能看了数据再挑方向。

> [!IMPORTANT]
> **方差未知时不能仍称精确的 $Z$ 检验**
>
> 只要分母里出现的是由同一样本算出的 $s$，统计量就不再服从标准正态分布，不能继续用 $z_{\alpha/2}$ 作临界值，也不能因为“$n$ 不算太小”就把 $t$ 检验写成 $Z$ 检验。一般总体的大样本下可以使用渐近正态近似，但必须说明近似条件；只有 $\sigma$ 确实已知时，$Z$ 检验才是精确的。

[来源：单个正态总体均值检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-tests/#properties)

均值检验是本节唯一一次把 $Z$ 与 $t$ 并排给出的地方；8.3的均值差只是把这两个统计量的分母换成标准误。

## 方差检验

均值未知时，检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ 使用

$$
Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1).
$$

记 $\nu=n-1$，拒绝域按备择方向取：

| 备择假设                    | 拒绝域                                                       |
| :---------------------- | :-------------------------------------------------------- |
| $\sigma^2\ne\sigma_0^2$ | $Q<\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 或 $Q>\chi_{\alpha/2}^2(\nu)$ |
| $\sigma^2>\sigma_0^2$   | $Q>\chi_{\alpha}^2(\nu)$                                  |
| $\sigma^2<\sigma_0^2$   | $Q<\chi_{1-\alpha}^2(\nu)$                                |

> [!WARNING]
> **卡方分布不对称**
>
> 卡方分布只在非负半轴取值且右尾较长，没有 $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$ 那样的对称关系，所以双侧拒绝域不能写成“绝对值超过某个对称临界值”。两侧的临界值 $\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 与 $\chi_{\alpha/2}^2(\nu)$ 需要分别查表；其中 $\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 位于分布的左侧，满足 $P\{Q\le\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)\}=\alpha/2$。

上面的公式以 $\mu$ 未知、用 $\bar X$ 估计中心为前提。若总体均值 $\mu$ **已知**，就不必再估计它，改用

$$
\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n),
$$

自由度相应地从 $n-1$ 改成 $n$。自由度不同的卡方分位点不能互换。

[来源：单个正态总体方差检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-variance-test/#properties)

方差检验在8.3有两样本的推广（方差比），那边改用 $F$ 分布；本节的 $\chi^2$ 结论只适用于单个总体。

## 学习安排

教材先讲均值检验：$\sigma$ 已知时用 $Z$ 统计量，$\sigma$ 未知时把 $\sigma$ 换成样本标准差 $S$、改用 $t$ 统计量；接着讲均值未知时的方差检验；最后用一道 $n=16$ 的例题把选型、查表和结论表述串起来，并以一份“使用前检查”清单收尾。

做这一章的题，动笔前先回答四个问题：检验的是均值还是方差；$\sigma$ 是题目给出的，还是由同一样本算出的 $s$；题目是否假定总体正态；备择方向指向哪一侧尾部。四个答案都确定之后再算统计量，可以避免大部分选型错误。

## 课程约定

* 教材统一使用上 $\alpha$ 分位点：$z_\alpha$、$t_\alpha(\nu)$、$\chi^2_\alpha(\nu)$，双侧检验把 $\alpha$ 拆成 $\alpha/2$ 分到两侧。
* 例题里的 $s$ 指样本标准差（分母 $n-1$），书写时与总体标准差 $\sigma$、基准值 $\sigma_0$ 分开。
* 方差检验的公式默认均值未知；若题目给出已知均值，教材改用已知中心构造卡方统计量，并提示自由度换成 $n$。
* 结论只写“拒绝 $H_0$”或“不拒绝 $H_0$”；不拒绝表示当前证据不足，参数可以等于基准值，也可以落在其他未被排除的取值上。

## 易错点

* 方差未知时仍用 $z_{\alpha/2}$ 当临界值，把 $t$ 检验写成精确的 $Z$ 检验。
* 双侧检验不显著后改用单侧检验重新报告；备择方向应由研究问题事先确定。
* 卡方分布不对称，双侧拒绝域不能写成“绝对值超过某个临界值”。
* 已知均值时仍按 $n-1$ 取自由度。
* 把“不拒绝 $H_0$”理解为证明了参数等于基准值。

## 复习要点

复习时把流程固定成：写 $H_0$ 与 $H_1$ → 确认 $\sigma$ 是否已知 → 算统计量 → 按备择方向查表 → 写结论。$n=16$ 的例题里 $t_{0.025}(15)\approx2.131$ 与 $t_{0.05}(15)\approx1.753$ 容易混用，查表前先确认是双侧还是单侧。