# 8.3两个正态总体的假设检验

## 阅读入口

* [两个独立正态总体均值差检验](/knowledge/maths/statistics/two-sample-tests/)
* [配对样本均值检验](/knowledge/maths/statistics/paired-sample-test/)
* [两个正态总体方差比检验](/knowledge/maths/statistics/variance-ratio-test/)
* [单个正态总体均值检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-tests/)
* [假设检验的基本概念](/knowledge/maths/statistics/hypothesis-testing/)
* [抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)

## 设定与记号

设两组样本分别独立取自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，样本量为 $n_1,n_2$，样本均值和方差分别记为 $\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$。检验以第一组减第二组或第一组除第二组的顺序书写。

[来源：两个独立正态总体均值差检验](/knowledge/maths/statistics/two-sample-tests/#definition)

本节统一使用 $\bar X-\bar Y$ 的顺序，下面三种情形的拒绝域表都按这个顺序书写；换组时要同步改写整段公式。

## 均值差的检验

标准误怎么算，取决于两个总体的方差是否已知、是否假定相等。三种情形依次削弱条件。

### 两总体方差已知

两个 $\sigma$ 都是已知常数，用

$$
Z=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}\sim N(0,1).
$$

分母是两个样本均值各自标准误的平方和再开方：$\bar X$ 的标准误为 $\sigma_1/\sqrt{n_1}$，$\bar Y$ 的标准误为 $\sigma_2/\sqrt{n_2}$，独立样本的方差可以直接相加。

### 方差未知但假定相等

此时两个总体方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$，可以用两组信息合成**合并方差**

$$
S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},
$$

再用它代替未知的 $\sigma^2$：

$$
T=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{S_p\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2).
$$

> [!IMPORTANT]
> **合并方差按自由度加权**
>
> $S_p^2$ 的权重是各自的自由度 $n_i-1$，不是简单平均 $\dfrac{S_1^2+S_2^2}{2}$。只有两个样本容量相等时，两种算法才碰巧相同。自由度 $n_1+n_2-2$ 也正是两个样本自由度之和 $(n_1-1)+(n_2-1)$，这一分布结论同时要求两个总体正态且方差相等。

### 方差未知且不假定相等：Welch检验

不假定方差相等时，分母只能直接拼两个样本方差：

$$
T_W=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}\approx t(\nu),
$$

$$
\nu=\frac{\left(S_1^2/n_1+S_2^2/n_2\right)^2}
{\dfrac{\left(S_1^2/n_1\right)^2}{n_1-1}
+\dfrac{\left(S_2^2/n_2\right)^2}{n_2-1}}.
$$

例如 $n_1=n_2=10$、$S_1^2=8$、$S_2^2=2$ 时，$S_1^2/n_1=0.8$、$S_2^2/n_2=0.2$，于是

$$
\nu=\frac{(0.8+0.2)^2}{0.8^2/9+0.2^2/9}
=\frac{1}{0.68/9}\approx13.2,
$$

比方差相等时假定的 $n_1+n_2-2=18$ 小得多。两组样本方差和样本量共同影响这个近似自由度。

> [!NOTE]
> **Welch的自由度是近似**
>
> $t(\nu)$ 中的 $\nu$ 由样本方差算出，本身是随机量，所以这个 $t$ 分布只是近似分布。软件一般直接使用非整数自由度；手工查表时要取相邻的整数自由度，并说明这是近似处理。若两个样本方差看起来相差不大，改用合并 $t$ 检验同样需要先说明“方差相等”这一假定。

### 拒绝域

三种情形只是统计量和自由度不同，拒绝域的形状一致。下表以 $t(\nu)$ 为例，$\nu$ 取 $n_1+n_2-2$（合并 $t$）或Welch自由度；方差已知的 $Z$ 情形把 $t_\alpha(\nu)$ 换成 $z_\alpha$，$\nu$ 不再出现。

| 备择假设                     | 拒绝域                                    |
| :----------------------- | :------------------------------------- |
| $\mu_1-\mu_2\ne\Delta_0$ | $\lvert T\rvert>t_{\alpha/2}(\nu)$     |
| $\mu_1-\mu_2>\Delta_0$   | $T>t_{\alpha}(\nu)$                    |
| $\mu_1-\mu_2<\Delta_0$   | $T<t_{1-\alpha}(\nu)=-t_{\alpha}(\nu)$ |

> [!WARNING]
> **顺序与方向要一起固定**
>
> 分子写成 $\bar X-\bar Y-\Delta_0$ 时，备择假设 $\mu_1-\mu_2>\Delta_0$ 对应右尾；若把分子改成 $\bar Y-\bar X-\Delta_0$，右尾对应的备择就变成 $\mu_2-\mu_1>\Delta_0$。两种写法本身都对，但必须在同一道题里保持一致，不能只改分子不改方向。

[来源：两个独立正态总体均值差检验](/knowledge/maths/statistics/two-sample-tests/#properties)

这一段的三种情形合成一张拒绝域表，选型时按“题目给了多少信息”从上往下取第一行适用的，不必三种都算一遍。

## 方差比的F检验

检验 $H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=r_0$，使用

$$
F=\frac{S_1^2/S_2^2}{r_0}\sim F(n_1-1,n_2-1).
$$

检验方差相等时 $r_0=1$，统计量就是两个样本方差之比。记 $\nu_1=n_1-1$、$\nu_2=n_2-1$，拒绝域为

* 双侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2\ne r_0$：$F<F_{1-\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$ 或 $F>F_{\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$；
* 右侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2>r_0$：$F>F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$；
* 左侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2<r_0$：$F<F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)$。

$F$ 分布不对称，双侧检验必须分别取左右两个临界值，不能写成“绝对值超过某个临界值”。若手头的表只给上侧分位点，用

$$
F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=\frac{1}{F_{\alpha}(\nu_2,\nu_1)}
$$

换算，两个自由度要同时交换位置。

> [!CAUTION]
> **交换分子分母要整套改**
>
> 若把统计量改成 $S_2^2/S_1^2$，自由度随之变成 $F(n_2-1,n_1-1)$，所检验的比值也变成 $\sigma_2^2/\sigma_1^2$，临界值的左右方向同样要跟着换。只换其中一项，结论就会反过来。双侧检验中为了查表而把较大的样本方差放到分子时，也要按 $\alpha/2$ 而不是 $\alpha$ 取临界值。

> [!WARNING]
> **F检验对非正态很敏感，“先F后t”不是固定流程**
>
> 两个正态总体方差比的 $F$ 分布结论依赖正态性；总体偏离正态时，它的实际显著性水平可能明显偏离名义水平，因此“未拒绝方差相等”不等于证明了方差相等。先做 $F$ 检验、再按结果选合并 $t$ 或Welch，是一套常见做法，但不是无条件正确的固定流程：方差相等这一信息往往来自专业背景而不是数据预检，预检之后再选检验还会改变第二类错误。更稳妥的做法是直接使用不假定方差相等的Welch检验。

[来源：两个正态总体方差比检验](/knowledge/maths/statistics/variance-ratio-test/#properties)

方差比检验与8.2的方差检验是一对：单总体用 $\chi^2$，两总体用 $F$，自由度分别是 $n-1$ 与 $(n_1-1,n_2-1)$。

## 学习安排

本节先讨论均值，再讨论方差。均值部分按条件强弱分三层——两个方差都已知、方差未知但假定相等、方差未知且不假定相等（Welch）；随后把三种情形的拒绝域合并成一张表，再讲配对设计如何化为单个总体的差值检验；最后是方差比的 $F$ 检验。

选择哪一种统计量，取决于题目给了多少信息：给了两个 $\sigma$ 就用 $Z$；只给样本方差并且明说方差相等，就用合并 $t$；只说“方差未知”而不提相等，就用Welch。

## 配对样本检验

同一对象的前后测量、按特征匹配的个体对，都属于**配对设计**。两张表看起来是两组数据，但配对内的两个观测不独立，不能套用上面的独立两样本公式。

配对设计先逐对作差：

$$
D_i=X_i-Y_i,\qquad i=1,\ldots,n,
$$

其中 $n$ 是**对数**。若 $D_1,\ldots,D_n$ 相互独立且都服从正态分布，则检验均值差 $H_0:\mu_D=\Delta_0$ 就化为单个正态总体的均值检验：

$$
T=\frac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n}\sim t(n-1),
$$

其中 $\bar D$、$S_D$ 分别是差值样本的均值和标准差。

> [!IMPORTANT]
> **配对检验的正态性加在差值上**
>
> 配对 $t$ 检验要求的是**差值**服从正态分布，不是要求两列原始数据各自正态。配对内的两个观测可以强相关，这正是配对设计想要消掉的部分；因此差值的方差不能写成 $S_X^2+S_Y^2$，那个式子只在两组相互独立时成立。自由度按对数算，是 $n-1$，不是 $n_1+n_2-2$。

[来源：配对样本均值检验](/knowledge/maths/statistics/paired-sample-test/#definition)

## 课程约定

* 全章固定“第一组减第二组”：分子写 $\bar X-\bar Y-\Delta_0$，备择方向也按 $\mu_1-\mu_2$ 描述。
* 合并方差的自由度记为 $n_1+n_2-2$；Welch的自由度记为 $\nu$，手工查表时取相邻整数并注明是近似。
* 配对检验先逐对作差，自由度按对数 $n-1$ 计。
* 方差比检验默认 $r_0=1$；本课程的表只给上侧分位点，左侧临界值用 $1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$ 换算，两个自由度同时交换。

## 易错点

* 把合并方差算成两个样本方差的算术平均。
* 把配对检验的自由度写成 $n_1+n_2-2$，或把两列数据的方差直接相加当作差值的方差。
* 交换 $F$ 统计量的分子分母时只改了统计量，没有同步交换自由度与备择方向。
* 双侧 $F$ 检验为了查表把较大的样本方差放到分子后，仍按 $\alpha$ 而不是 $\alpha/2$ 取临界值。
* 把“先做 $F$ 检验、再按结果选 $t$ 检验”当成固定流程；$F$ 检验对非正态敏感，未拒绝也不等于方差相等。

## 复习要点

三种均值差情形的公式只差分母，复习时按“标准误怎么来”记：方差已知直接拼 $\sigma_i^2/n_i$；方差相等先按自由度加权合成 $S_p^2$，再乘 $\sqrt{1/n_1+1/n_2}$；方差不等直接拼 $S_i^2/n_i$，自由度另外算出。Welch的自由度不超过 $n_1+n_2-2$，两组容量相等且样本方差相等时取等号；自由度变小会让临界值变大，判别更保守。