# 8.4分布拟合检验

## 阅读入口

* [分布拟合检验](/knowledge/maths/statistics/goodness-of-fit-test/)
* [列联表独立性检验](/knowledge/maths/statistics/contingency-independence/)
* [抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)

## 卡方统计量与拒绝域

把样本结果划分为 $k$ 个互斥且完备的类别，第 $i$ 类的观察频数记为 $O_i$。原假设下第 $i$ 类的概率为 $p_i$，样本量为 $n$，则期望频数为

$$
E_i=np_i,\qquad \sum_{i=1}^kO_i=n,\qquad \sum_{i=1}^kp_i=1.
$$

卡方拟合优度统计量定义为

$$
Q=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.
$$

若原假设完全指定了各类概率，并且样本满足大样本近似条件，则

$$
Q\approx\chi^2(k-1).
$$

$Q$ 衡量观察频数偏离期望频数的程度：$Q=0$ 当且仅当每类都有 $O_i=E_i$，$Q$ 越大，数据与假设分布越不一致。因此检验只在右尾拒绝：

$$
Q>\chi^2_\alpha(k-1).
$$

这里的 $\chi^2_\alpha(\nu)$ 是上 $\alpha$ 分位点，满足 $P\{\chi^2(\nu)>\chi^2_\alpha(\nu)\}=\alpha$，记号与[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)一致。

> [!NOTE]
> **“完全指定”的含义**
>
> 上式中的自由度 $k-1$ 以 $p_i$ 全部已知、没有用同一样本估计分布参数为前提。如果先由样本估计了参数，自由度要相应减少，见下文。

[来源：分布拟合检验](/knowledge/maths/statistics/goodness-of-fit-test/#definition)

这一段的 $Q$ 与8.2的 $\chi^2$ 统计量形状相似，但自由度来自类别数而不是样本量；先分清这一点再往下读。

## 自由度与适用条件

### 参数由样本估计时的自由度

若假设分布中有 $r$ 个独立参数由同一样本适当估计，在常用正则条件及相应估计方法下，使用近似自由度

$$
\nu=k-1-r.
$$

例如拟合参数未知的泊松分布通常减去 $1$；拟合均值、方差均未知的正态分布通常减去 $2$。分组后估计参数的方法应与所用卡方近似相匹配，不能对任意估计方法都无条件套该规则。

1. **先确定最终类别数**

   合并稀疏类别之后，类别数才是参与计算自由度与统计量的 $k$。

2. **扣除总频数约束**

   各类期望频数之和等于 $n$，这一个约束已经体现在 $k-1$ 中。

3. **再扣除估计参数数**

   从 $k-1$ 中减去 $r$，并确认 $\nu>0$；自由度为非正时，这组数据与所选近似不匹配。

### 分组与期望频数

卡方近似要求期望频数不能过小。入门计算通常要求各组期望频数不小于 $5$；这是一种常用的保守规则，不是精确的适用性分界。

连续分布需要分组。若组边界为

$$
a_0=-\infty<a_1<\cdots<a_k=+\infty,
$$

则第 $i$ 组的理论概率为

$$
p_i=F(a_i)-F(a_{i-1}),
$$

其中 $F$ 是原假设下的分布函数。尾部不能遗漏：第一组从 $-\infty$ 到 $a_1$，最后一组从 $a_{k-1}$ 到 $+\infty$。拟合泊松分布时，最后一组常取“$m$ 次及以上”，而不是在最大观察值处截断概率。

稀疏类别可以合理合并；合并后要重新计算期望频数与自由度。若原假设给某类别零概率，而该类别出现正频数，原假设已经与数据直接矛盾，不能计算除以零的项。

> [!WARNING]
> **$E_i\ge5$ 是经验规则**
>
> 它只是常用的保守处理方式。期望频数略小并不自动使检验失效，期望频数过小也不能靠这条规则“修好”；关键仍是合并的合理性以及近似分布是否适用。

[来源：分布拟合检验](/knowledge/maths/statistics/goodness-of-fit-test/#properties)

分组决定 $k$，$k$ 又决定自由度，所以计算的顺序是先合并稀疏类别再算 $Q$；反过来会出现 $\nu\le0$。

## 列联表独立性检验

同一套“观察频数对期望频数”的比较也可以检验两个分类变量是否独立。对 $r\times c$ 列联表，记第 $(i,j)$ 格的观察频数为 $O_{ij}$，第 $i$ 行合计为 $O_{i\cdot}$，第 $j$ 列合计为 $O_{\cdot j}$，总频数为 $n$。独立假设下的期望频数为

$$
E_{ij}=\frac{O_{i\cdot}O_{\cdot j}}{n},
$$

统计量仍为

$$
Q=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\approx\chi^2((r-1)(c-1)).
$$

仍为右尾检验，并同样检查期望频数是否过小。拟合优度检验的自由度由类别数与所估参数决定；列联表独立性检验的自由度为 $(r-1)(c-1)$，不要套用 $k-1-r$。

> [!TIP]
> **两种自由度的来源**
>
> 列联表的期望频数由行合计与列合计共同决定，行列合计分别占去 $(r-1)$ 与 $(c-1)$ 个自由度，所以独立条件下自由变动的格子数是 $(r-1)(c-1)$。

[来源：列联表独立性检验](/knowledge/maths/statistics/contingency-independence/#definition)

列联表与拟合优度共用同一个卡方统计量，只是期望频数由行、列边际算出；教材把两段并排，正是为了对照这一点。

## 学习安排

教材把拟合优度检验与列联表独立性检验放在同一节，因为两者都在比较观察频数与期望频数。8.1至8.3处理参数假设，这一节转向“分布是否成立”的假设；卡方分布的分位数来自[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)，先确认上侧分位点的记号再读本节。

阅读顺序按教材：先建立卡方统计量与右尾拒绝域，再处理参数由样本估计时的自由度，然后讨论分组与期望频数，最后用公平骰子例题走一遍完整流程，并把方法推广到列联表。

## 课程约定

* 卡方拟合优度统计量统一记作 $Q$；比较资料时先核对统计量的定义。
* 拒绝域统一写成上侧分位点形式，与第8章其他检验的记号方向保持一致。
* 自由度按“最终类别数减 $1$，再减估计参数数”的顺序计算，先合并类别再计数。
* 列联表独立性检验单独记自由度 $(r-1)(c-1)$，不套用拟合优度的 $k-1-r$。

## 重点

* 判断卡方近似是否可用：概率是否完全指定、期望频数是否过小、分组是否覆盖全部取值。
* 参数由样本估计时，自由度减少多少取决于估计了几个独立参数，而不是分布的名称。
* 结论只写到“拒绝”或“不拒绝”，不把不拒绝解释成假设成立。

## 易错点

* 把“没有发现不公平证据”说成“证明了骰子公平”。
* 连续分布分组时漏掉两端尾部，导致各组理论概率之和不等于 $1$。
* 合并稀疏类别后仍用合并前的类别数和期望频数。
* 拟合泊松分布时在最大观察值处截断，而不是把最后一组写成“$m$ 次及以上”。

## 复习要点

复习时先默写卡方统计量的构造和右尾拒绝域，再检查自由度的计数顺序；例题重点回看“不拒绝”的表述。