# 柱面

## 定义

一条动直线 $l$ 沿定曲线 $C$ 移动，并且始终平行于一条定直线，这样生成的曲面称为**柱面**。定曲线 $C$ 称为准线，动直线 $l$ 称为母线。母线只决定延展方向，柱面的形状由准线决定。

由方程判断柱面：

* 方程中不含 $z$，形如 $f(x,y)=0$：截面 $z=z_0$ 上的截痕都是同一条曲线，曲面由平行于 $z$ 轴的直线组成，是母线平行于 $z$ 轴的柱面，准线在 $Oxy$ 面内。
* 方程中不含 $x$，形如 $f(y,z)=0$：母线平行于 $x$ 轴，准线在 $Oyz$ 面内。
* 方程中不含 $y$，形如 $f(x,z)=0$：母线平行于 $y$ 轴，准线在 $Oxz$ 面内。

> [!WARNING]
> $f(x,y)=0$ 在 $Oxy$ 面上是一条曲线，在空间中却是一个柱面。不要把它当成平面曲线；再补上 $z=0$，才把它压回坐标面。

常见的柱面：

* $x^2+y^2=R^2$：圆柱面，准线是 $Oxy$ 面上的圆，母线平行 $z$ 轴。
* $y^2=2px$：抛物柱面，准线是 $Oxy$ 面内的抛物线。
* $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$：椭圆柱面。
* $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$：双曲柱面。

当这样的柱面由空间曲线消去 $z$ 得到时，称为该曲线关于 $Oxy$ 面的投影柱面，具体用法见[空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/)。

## 探索

交互演示：方程不含z时空间图形是什么？。改变高度，查看同一条准线沿z轴方向延展。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $x^2+z^2=4$ 在空间中表示：

   * A.  准线在 $Oxy$ 面内、母线平行 $z$ 轴的圆柱面
   * B.  准线在 $Oxz$ 面内、母线平行 $y$ 轴的圆柱面
   * C.  准线在 $Oyz$ 面内、母线平行 $x$ 轴的圆柱面
   * D.  $Oxz$ 面内的一个圆

   答案：B

   方程缺 $y$，所以柱面沿 $y$ 轴方向延伸，准线是 $Oxz$ 面内的圆 $x^2+z^2=4$。