# 向量的数量积

## 定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的**数量积**（点积、内积）是一个数：

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta.
$$

只要有一个因子是零向量，数量积规定为 $0$。在坐标下

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
$$

它的几何意义是“一个向量的模乘以另一个向量在它方向上的投影”：

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\operatorname{Prj}_{\mathbf a}\mathbf{b}
=|\mathbf{b}|\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a},
$$

其中投影的定义见[向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/)。恒力 $\mathbf{F}$ 沿位移 $\mathbf{s}$ 做的功就是 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$，这是数量积最直接的物理来源。

## 性质

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a},\qquad
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c},\qquad
(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}),
$$

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^2,\qquad
|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|\le|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|.
$$

后一条是柯西不等式。由定义还能得到两个常用判据：

$$
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
\quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}),
\qquad
\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\iff\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}).
$$

## 例子

**数量积、夹角与垂直**

取 $\mathbf{a}=(1,2,2)$，$\mathbf{b}=(2,-1,0)$，则

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot0=0,
$$

所以两向量垂直。若改取 $\mathbf{u}=(1,0,0)$，$\mathbf{v}=(1,1,0)$，则

$$
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}
=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},
$$

即夹角为 $45^\circ$。

## 探索

交互演示：夹角如何影响数量积？。固定向量长度，观察数量积的符号。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $\mathbf{a}=(1,2,2)$，$\mathbf{b}=(2,0,1)$，则 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：4

   按分量相乘再相加：$1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=4$。

2. 向量 $(1,0,0)$ 与 $(1,1,0)$ 的夹角是：

   * A.  $30^\circ$
   * B.  $45^\circ$
   * C.  $60^\circ$
   * D.  $90^\circ$

   答案：B

   数量积为 $1$，两向量的模分别为 $1$ 与 $\sqrt2$，所以 $\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}$。

3. 设 $\mathbf{a}=(1,2,\lambda)$ 与 $\mathbf{b}=(2,3,1)$ 垂直，则 $\lambda=$ \_\_\_\_\_\_（lambda）。

   答案：-8

   由数量积为零得 $1\cdot2+2\cdot3+\lambda\cdot1=0$，即 $\lambda=-8$。