# 空间直线及其方程

## 定义

过一点并与一个非零向量平行的点的全体构成一条空间直线，这个非零向量称为直线的**方向向量**。方向向量只确定到相差一个非零倍数：把方向向量换成它的非零倍数，直线不变。

### 一般方程

两个不平行平面的交线是一条直线，所以空间直线可以写成

$$
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
\end{cases}
$$

其中两平面的法向量 $\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 与 $\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 不平行。直线上的点同时在这两个平面上，所以直线的方向向量垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，可以取

$$
\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
$$

### 对称式方程

设直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\mathbf{s}=(m,n,p)$。点 $M(x,y,z)$ 在该直线上，当且仅当 $\overrightarrow{M_0M}$ 与 $\mathbf{s}$ 平行，即存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{M_0M}=\lambda\mathbf{s}$。当 $m,n,p$ 都不为零时，把三个分量分别写成比例：

$$
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.
$$

这个形式称为**对称式方程**，也称**点向式方程**。三项相等，直接从方程就能读出直线经过的点 $M_0$ 和方向向量 $\mathbf{s}$。

### 参数方程

令对称式中的比值为 $t$，得到**参数方程**

$$
\begin{cases}
x=x_0+mt,\\
y=y_0+nt,\\
z=z_0+pt,
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}.
$$

参数 $t$ 的每个取值对应直线上的一点，$t$ 增大时点沿 $\mathbf{s}$ 的方向移动。求直线与平面的交点时，把参数方程代入平面方程解出 $t$，比消元更快。

<!-- more -->

> [!NOTE]
> 对称式的分母不能为零。方向向量的某个分量为零时（例如 $m=0$），约定 $\dfrac{x-x_0}{0}$ 表示 $x-x_0=0$，即直线上所有点的 $x$ 坐标都是 $x_0$；此时改用参数方程可以避开这个约定。

## 性质

### 两直线的夹角

设直线 $L_1$、$L_2$ 的方向向量分别为 $\mathbf{s}_1=(m_1,n_1,p_1)$、$\mathbf{s}_2=(m_2,n_2,p_2)$。把两条直线平移到同一个公共起点后，它们的夹角等于方向向量的夹角或其补角，所以按锐角定义：

$$
\cos\varphi
=\frac{\lvert \mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2\rvert}{\lvert \mathbf{s}_1\rvert\,\lvert \mathbf{s}_2\rvert}
=\frac{\lvert m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\rvert}
{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}},
\qquad \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
$$

| 关系      | 条件                                                                                |
| :------ | :-------------------------------------------------------------------------------- |
| 平行（或重合） | $\mathbf{s}_1\parallel\mathbf{s}_2$，即 $\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2=\mathbf{0}$ |
| 垂直      | $\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2=0$                                                 |

> [!NOTE]
> 方向向量既不平行也不垂直时，两直线可能相交，也可能异面。夹角公式仍然可以算，但判断是否相交要把两条直线的参数方程联立，检查方程组是否有解。

### 直线与平面的夹角

设直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{s}$，平面 $\Pi$ 的法向量为 $\mathbf{n}$。直线与平面的夹角 $\phi$ 定义为直线与它在平面上的投影的夹角，取 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。$\mathbf{n}$ 垂直于平面，它与 $\mathbf{s}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{2}-\phi$（或 $\dfrac{\pi}{2}+\phi$），所以

$$
\sin\phi=\frac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\,\lvert \mathbf{s}\rvert},
\qquad \phi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
$$

> [!WARNING]
> 直线与平面的夹角用 $\sin$ 计算，两直线、两平面的夹角用 $\cos$ 计算。$\mathbf{n}$ 垂直于平面，它与 $\mathbf{s}$ 的夹角与所求夹角互余，取正弦后正好得到 $\sin\phi=\lvert\cos\langle\mathbf{n},\mathbf{s}\rangle\rvert$。

直线与平面的位置关系按方向向量与法向量的关系判断：

| 关系      | 条件                                                                        |
| :------ | :------------------------------------------------------------------------ |
| 直线在平面内  | $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$，且直线上一点在平面上                                  |
| 直线平行于平面 | $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$，且直线上一点不在平面上                                 |
| 直线垂直于平面 | $\mathbf{n}\parallel\mathbf{s}$，即 $\mathbf{n}\times\mathbf{s}=\mathbf{0}$ |

> [!NOTE]
> $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$ 只说明直线与平面平行或落在平面内。要区分这两种情形，必须把直线上的一个点代入平面方程检验。

## 例子

**把一般方程化为对称式与参数方程**

直线由平面 $x+y+z-3=0$ 与 $x-y+2z-3=0$ 的交线给出。

先求方向向量。两平面的法向量为 $\mathbf{n}_1=(1,1,1)$、$\mathbf{n}_2=(1,-1,2)$，所以

$$
\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(3,\ -1,\ -2).
$$

再求直线上的一点。令 $z=0$，两个平面方程化为 $x+y=3$ 与 $x-y=3$，解得 $x=3$、$y=0$，得到点 $M_0(3,0,0)$。

于是对称式为

$$
\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2},
$$

令比值为 $t$，得参数方程

$$
\begin{cases}
x=3+3t,\\
y=-t,\\
z=-2t.
\end{cases}
$$

检验方向向量：$\mathbf{s}\cdot\mathbf{n}_1=3-1-2=0$，$\mathbf{s}\cdot\mathbf{n}_2=3+1-4=0$，它同时垂直于两个法向量。

**用参数方程求直线与平面的交点**

求直线 $\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-2}$ 与平面 $2x-y+z=1$ 的交点。

把参数方程代入平面方程：

$$
2(3+3t)-(-t)+(-2t)=1,
$$

即 $6+6t+t-2t=1$，解得 $t=-1$。代回参数方程得 $x=0$、$y=1$、$z=2$，交点为 $(0,1,2)$。

**直线与平面的夹角**

直线过原点，方向向量为 $\mathbf{s}=(1,0,1)$；平面 $\Pi$ 的方程为 $y+z=1$，法向量为 $\mathbf{n}=(0,1,1)$。则

$$
\sin\phi=\frac{\lvert 0+0+1\rvert}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2},
$$

所以直线与平面的夹角为 $\phi=\dfrac{\pi}{6}$。

### 求空间直线的方法

处理空间直线问题时，第一步通常是把一般方程化成对称式或参数方程。

1. **化成可直接使用的形式**

   一般方程便于与其它平面联立，对称式便于读出点和方向，参数方程便于代入求交点。先按后续要解决的问题选定形式。

2. **求直线上的一点**

   在一般方程中令某个坐标取定值（例如 $x=0$ 或 $z=0$），解剩下的二元一次方程组。取定值时要确认方程组有解。

3. **求方向向量**

   取两个平面法向量的向量积 $\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2$；已知直线上两点 $M_1$、$M_2$ 时也可以取 $\mathbf{s}=\overrightarrow{M_1M_2}$。

4. **写出所需形式并检验**

   用点和方向写对称式；需要求交点或距离时改写成参数方程，代入后再检验所得的点是否同时满足两个方程。

## 探索

交互演示：直线上各点如何由参数表示？。改变参数，观察点与方向向量的关系。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 直线由平面 $x+y+z-1=0$ 与 $x-y+2z=0$ 的交线给出，它的一个方向向量是：

   * A.  $(3,-1,-2)$
   * B.  $(3,1,-2)$
   * C.  $(1,1,1)$
   * D.  $(1,-1,2)$

   答案：A

   方向向量取两个平面法向量的向量积：$(1,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-1,-2)$。选项C、D分别是两个平面的法向量，它们垂直于直线，不是方向向量。

2. 直线 $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ 与平面 $2x-y+3z-6=0$ 的位置关系是：

   * A.  垂直
   * B.  平行
   * C.  相交但不垂直
   * D.  直线在平面内

   答案：A

   直线的方向向量为 $(2,-1,3)$，平面的法向量也是 $(2,-1,3)$，两者平行，所以直线垂直于平面。

3. 直线方向向量 $\mathbf{s}$ 与平面法向量 $\mathbf{n}$ 满足 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$，且直线不在该平面内，则直线与平面的夹角（用弧度表示）为 \_\_\_\_\_\_（angle）。

   答案：0

   由 $\sin\phi=\dfrac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\lvert \mathbf{s}\rvert}=0$ 得 $\phi=0$，即直线平行于平面。

4. 直线 $\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-2}$ 的参数方程中取 $t=-1$，对应点的 $y$ 坐标是 \_\_\_\_\_\_（y）。

   答案：1

   由 $\dfrac{y}{-1}=t$ 得 $y=-t$，代入 $t=-1$ 得 $y=1$。