# 向量的混合积

## 定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

三个向量的**混合积**是一个数：

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.
$$

坐标公式是三阶行列式：

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}.
$$

它的绝对值等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为棱的平行六面体的体积。$[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]>0$ 当且仅当 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 依次构成右手系；混合积等于 $0$ 时三个向量共面。以这三个向量为棱的四面体体积为 $\frac16|[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]|$。

## 性质

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]
=[\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a}]
=[\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}],
\qquad
[\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}]=-[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}].
$$

轮换三个向量不改变混合积，交换任意两个向量则改变符号；这个符号差异来自行列式交换两行变号。又因为

$$
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}),
$$

叉积的位置也可以轮换。由此得到共面判据：

$$
\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\ \text{共面}\iff[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=0.
$$

## 例子

**混合积、体积与共面**

$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 的混合积是单位矩阵的行列式，等于 $1$，对应体积为 $1$ 的单位正方体。

再取 $\mathbf{a}=(1,1,0)$，$\mathbf{b}=(1,0,1)$，$\mathbf{c}=(2,1,1)$，计算行列式

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
=1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot1-1\cdot2)+0
=-1-(-1)=0,
$$

所以三个向量共面。事实上 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$，以它们为棱的平行六面体已经压扁，体积为零。

## 探索

交互演示：混合积如何表示体积和方向？。改变第三个向量的高度，比较有向体积与体积。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 向量 $\mathbf{a}=(1,1,0)$，$\mathbf{b}=(1,0,1)$，$\mathbf{c}=(2,1,1)$ 是否共面？

   * A.  共面
   * B.  不共面

   答案：A

   三个向量组成的行列式为零，所以共面；这里恰好有 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$。

2. 以 $\mathbf{a}=(1,1,0)$，$\mathbf{b}=(0,1,1)$，$\mathbf{c}=(1,0,1)$ 为棱的平行六面体体积是 \_\_\_\_\_\_（volume）。

   答案：2

   混合积的行列式为 $2$，体积取其绝对值，等于 $2$。