# 平面及其方程

## 定义

过一点并与一个非零向量垂直的点的全体构成一个平面，这个非零向量称为平面的**法向量**。因此确定一个平面需要两个要素：平面上的一点，以及平面的一个法向量。

设平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$，其中 $A,B,C$ 不全为零。点 $M(x,y,z)$ 在该平面上，当且仅当向量

$$
\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)
$$

与 $\mathbf{n}$ 垂直，即 $\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$。写成坐标形式得到**点法式方程**

$$
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
$$

展开并合并常数项，点法式化为**一般方程**

$$
Ax+By+Cz+D=0,
$$

其中 $A,B,C$ 不全为零，$D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$。反过来，任一满足 $A,B,C$ 不全为零的上述方程都表示一个平面，且 $(A,B,C)$ 就是它的一个法向量：取平面上一点 $M_0$，把方程移项就能写成以 $M_0$ 为已知点的点法式。

若平面与三条坐标轴分别交于 $P(a,0,0)$、$Q(0,b,0)$、$R(0,0,c)$，且 $a,b,c$ 都不为零，把三点坐标代入一般方程可解出系数，得到**截距式方程**

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,
$$

$a,b,c$ 称为平面在三条坐标轴上的截距。

同一平面的一般方程不唯一：方程两边乘以同一个非零常数仍是同一个平面，所以 $(A,B,C)$ 与 $D$ 只能确定到相差一个非零倍数。用哪个倍数求法向量、算夹角都不影响结果。

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### 特殊位置的平面

一般方程中某些系数为零时，平面的位置有确定的几何含义：

| 系数条件    | 平面的位置                      |
| :------ | :------------------------- |
| $D=0$   | 过原点 $(0,0,0)$              |
| $A=0$   | 平行于 $x$ 轴（$D=0$ 时通过 $x$ 轴） |
| $B=0$   | 平行于 $y$ 轴（$D=0$ 时通过 $y$ 轴） |
| $C=0$   | 平行于 $z$ 轴（$D=0$ 时通过 $z$ 轴） |
| $A=B=0$ | 平行于 $xOy$ 坐标面，即垂直于 $z$ 轴   |
| $A=C=0$ | 平行于 $xOz$ 坐标面，即垂直于 $y$ 轴   |
| $B=C=0$ | 平行于 $yOz$ 坐标面，即垂直于 $x$ 轴   |

规律是：方程中缺少哪个变量，平面就平行于哪条坐标轴；缺少两个变量时，平面平行于由这两个变量确定的坐标面。

> [!NOTE]
> 截距式要求 $a,b,c$ 全不为零。平面过原点或平行于某条坐标轴时，对应截距不存在，应改用一般方程或点法式。

## 性质

### 两平面的夹角

设平面 $\Pi_1$、$\Pi_2$ 的法向量分别为 $\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$、$\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$。两平面的夹角 $\theta$ 取 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，等于两法向量夹角或其补角，因此

$$
\cos\theta
=\frac{\lvert \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\rvert}{\lvert \mathbf{n}_1\rvert\,\lvert \mathbf{n}_2\rvert}
=\frac{\lvert A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\rvert}
{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.
$$

夹角按锐角定义，所以分子取绝对值。用法向量直接算出的夹角可能是钝角，取绝对值后才等于两平面的夹角。

### 两平面的位置关系

| 关系 | 条件                                                                                |
| :- | :-------------------------------------------------------------------------------- |
| 垂直 | $\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0$，即 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$                      |
| 平行 | $\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$，即 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=\mathbf{0}$ |
| 重合 | $\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$，且两平面有公共点                                      |

法向量平行时常用分量比例式 $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$ 表示平行。

> [!WARNING]
> 比例式的分母不能为零。某个法向量分量为零时，比例式要按“对应分子也为零”理解；更稳妥的写法是 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=\mathbf{0}$。

> [!NOTE]
> 法向量平行只保证两平面平行或重合。要区分两者，取第一个平面上的一点代入第二个平面的方程：等式成立则重合，不成立则平行。

### 点到平面的距离

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

$$
d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
$$

这个公式是向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$（$P_1$ 为平面上任一点）在法向量方向上投影的长度；分子必须取绝对值，否则得到的是带符号的投影。

## 例子

**由点和法向量写平面方程**

求过点 $M_0(1,-2,3)$、以 $\mathbf{n}=(2,1,-1)$ 为法向量的平面方程。

代入点法式：

$$
2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0,
$$

整理得

$$
2x+y-z+3=0.
$$

把 $M_0$ 的坐标代回检验，左边为 $2-2-3+3=0$，方程成立。

**由三点求平面方程**

求过 $A(1,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,3)$ 的平面方程。

$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$，两者不共线，取

$$
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
-1 & 2 & 0\\
-1 & 0 & 3
\end{vmatrix}
=(6,\ 3,\ 2).
$$

以 $A$ 为已知点写点法式：

$$
6(x-1)+3y+2z=0,
$$

即 $6x+3y+2z-6=0$。三个截距正好是 $1$、$2$、$3$，与截距式 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ 一致。

**点到平面的距离**

求点 $P_0(1,1,1)$ 到平面 $2x-y+2z-6=0$ 的距离。

$$
d=\frac{\lvert 2-1+2-6\rvert}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{3}{3}=1.
$$

### 求平面方程的方法

求平面方程的核心是找法向量。

1. **判断已知条件的类型**

   已知一点和法向量时直接用点法式；已知三点、一点与两个方向向量、或平面平行于两个已知向量时，先由向量积求法向量。

2. **求法向量**

   过不共线三点 $A,B,C$ 的平面取 $\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$；平行于两个不平行向量 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 的平面取 $\mathbf{n}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。

3. **代入并整理**

   用平面上的一个点写出点法式，再整理成一般方程；也可以设 $Ax+By+Cz+D=0$，把已知点的坐标代入解出系数。

## 探索

交互演示：平面方程如何约束空间点？。改变两个坐标，计算平面上的第三个坐标。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 平面 $2x-3y+z-5=0$ 的一个法向量是：

   * A.  $(2,-3,1)$
   * B.  $(2,3,1)$
   * C.  $(-2,3,1)$
   * D.  $(2,-3,-5)$

   答案：A

   一般方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 中，$(A,B,C)$ 就是法向量，常数项 $D$ 不参与。

2. 点 $P(1,1,1)$ 到平面 $2x-y+2z-6=0$ 的距离是 \_\_\_\_\_\_（distance）。

   答案：1

   分子为 $\lvert 2-1+2-6\rvert=3$，分母为 $\sqrt{4+1+4}=3$，所以 $d=1$。

3. 平面 $x+2y-2z+1=0$ 与 $2x+4y-4z-3=0$ 的位置关系是：

   * A.  平行
   * B.  垂直
   * C.  相交但不垂直
   * D.  重合

   答案：A

   法向量 $(1,2,-2)$ 与 $(2,4,-4)$ 成比例，两平面平行。若重合，第一个方程乘 $2$ 应与第二个方程相同，但常数项会变成 $2$，与 $-3$ 不符，所以不重合。

4. 平面 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{4}=1$ 在 $z$ 轴上的截距是 \_\_\_\_\_\_（intercept）。

   答案：4

   令 $x=y=0$，得 $\dfrac{z}{4}=1$，即 $z=4$。

5. 过 $A(1,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,3)$ 的平面方程可写成 $6x+3y+2z+D=0$，则 $D=$ \_\_\_\_\_\_（d）。

   答案：-6

   把 $A(1,0,0)$ 代入得 $6+D=0$，所以 $D=-6$。