# 曲面及其方程

## 定义

### 曲面与它的方程

在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，设 $S$ 是一个曲面。若三元方程

$$
F(x,y,z)=0
$$

满足：$S$ 上每一点的坐标都满足该方程，且不在 $S$ 上的点的坐标都不满足该方程，则称该方程为曲面 $S$ 的方程，$S$ 为该方程的图形。

两个条件缺一不可。少了第一条，$S$ 上的点被漏掉；少了第二条，方程会同时描述一个更大的点集。

### 曲面研究的两个基本问题

1. **已知曲面，求方程**：把曲面的几何特征（到定点的距离、与定直线或定平面的关系等）翻译成坐标之间的数量关系，再化简。
2. **已知方程，研究形状**：用截痕法，由截痕的形状和变化反推曲面。

截痕法指用平行于坐标面的平面去截曲面，把三维问题化成一族平面曲线的问题：

1. **选截平面**

   取 $x=x_0$、$y=y_0$ 或 $z=z_0$，其中 $x_0$ 等是常数。把常数代入曲面方程，就得到该平面内的一条曲线方程。

2. **识别截痕**

   判断曲线是椭圆、抛物线、双曲线、圆，还是退化成直线或一点。

3. **比较不同位置的截痕**

   让 $x_0$ 或 $z_0$ 变动，观察截痕的大小、位置和出现范围，拼出整个曲面。

> [!TIP]
> 截痕法的信息量集中在两件事：截痕在什么范围内存在，以及在临界位置是否退化。椭球面只在 $\vert z_0\vert\le c$ 时有截痕；双曲抛物面在 $z_0=0$ 处退化成两条相交直线。

## 探索

交互演示：水平截面怎样揭示曲面的形状？。移动截平面，查看单位球面的截痕。 请在站点操作演示。