# 二次曲面

## 定义

三元二次方程（各项次数都不超过 $2$）所表示的曲面称为**二次曲面**。通过坐标平移与旋转化简后，常见类型可以用标准方程识别；下表均取 $a,b,c>0$。

| 名称         | 标准方程                                                    | 形状要点                                                    |
| :--------- | :------------------------------------------------------ | :------------------------------------------------------ |
| 椭球面        | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$  | 有界；三个方向的截痕都是椭圆                                          |
| 椭圆抛物面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$                   | 碗状，$z\ge 0$，顶点在原点，向 $z$ 轴正向无限张开                         |
| 双曲抛物面（马鞍面） | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$                   | 鞍形；$y=0$ 的截痕开口向上，$x=0$ 的截痕开口向下，$z=0$ 的截痕是两条相交直线         |
| 单叶双曲面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$  | 连成一片，形如冷却塔；$z=z_0$ 的截痕总是椭圆，$z=0$ 处最细                    |
| 双叶双曲面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$ | 分成两支，$\vert z\vert\ge c$；只有 $\vert z_0\vert\ge c$ 时才有截痕 |
| 二次锥面       | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2$                 | 顶点在原点；$z=z_0\ne 0$ 时截痕是椭圆，$z_0=0$ 时缩成顶点                 |

双叶双曲面也可以写成 $\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。轮换 $x,y,z$ 就得到沿其他坐标轴张开的形式，例如 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 的两支沿 $x$ 轴方向张开。

> [!NOTE]
> 区分单叶与双叶只看方程右端：左端相同的 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 连成一片，右端改成 $-1$ 就分成两支。判断前先把方程整理成“平方项之和等于常数”的形式，再数正负号。

## 例子

**用截痕法识别 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$**

用 $z=z_0$ 去截：

$$
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1-z_0^2 .
$$

右端必须非负，所以 $\vert z_0\vert\le 1$。此时截痕是椭圆，半轴分别为 $2\sqrt{1-z_0^2}$ 与 $3\sqrt{1-z_0^2}$，随 $\vert z_0\vert$ 增大而缩小；$z_0=\pm1$ 时缩成点 $(0,0,\pm1)$。

再用 $y=0$ 去截：

$$
\frac{x^2}{4}+z^2=1,
$$

也是椭圆，半轴为 $2$ 与 $1$。

三个方向的截痕都是有界椭圆，所以这是半轴为 $2,3,1$ 的椭球面，不是双曲面或抛物面。

**用截痕法识别 $z=x^2-y^2$**

* 用 $y=0$ 截：$z=x^2$，开口向上的抛物线。
* 用 $x=0$ 截：$z=-y^2$，开口向下的抛物线。
* 用 $z=0$ 截：$x^2=y^2$，即 $y=x$ 或 $y=-x$，退化成两条相交直线。

两个方向的截痕弯曲方向相反，中间位置退化成两条直线，这正是双曲抛物面（马鞍面）的截痕特征。若换成 $z=x^2+y^2$，两个方向的截痕都开口向上，$z=0$ 只截得一点，那是椭圆抛物面。

## 探索

交互演示：截面如何区分二次曲面？。比较球面和双曲抛物面的水平截痕。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 是哪种曲面？

   * A.  单叶双曲面
   * B.  双叶双曲面
   * C.  二次锥面
   * D.  椭球面

   答案：A

   左端两个平方项为正、一个为负，右端为 $1$。用 $z=z_0$ 截得的截痕总是椭圆，且 $z=0$ 处最小，曲面连成一片，所以是单叶双曲面；右端改成 $-1$ 才会分成两支。

2. $z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$ 是哪种曲面？

   * A.  椭球面
   * B.  椭圆抛物面
   * C.  双曲抛物面
   * D.  单叶双曲面

   答案：C

   两个二次项异号，且方程中 $z$ 是一次的，所以是双曲抛物面（马鞍面）。只需看 $y=0$ 与 $x=0$ 两条截痕的开口方向相反即可确认。