# 旋转曲面

## 定义

一条平面曲线 $C$ 绕它所在平面内的一条定直线 $l$ 旋转一周，所生成的曲面称为**旋转曲面**，$l$ 称为旋转轴，$C$ 称为母线。

设母线在 $yOz$ 坐标面内，方程为

$$
f(y,z)=0 .
$$

曲面上任一点 $M(x,y,z)$ 由母线上某点 $M_1(0,y_1,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得到，两点到 $z$ 轴的距离相等，即

$$
\sqrt{x^2+y^2}=\vert y_1\vert .
$$

因此把方程中的 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$、$z$ 保持不变，就得到绕 $z$ 轴旋转的曲面方程：

$$
f\bigl(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z\bigr)=0 .
$$

绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 不变，把 $z$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：

$$
f\bigl(y,\,\pm\sqrt{x^2+z^2}\bigr)=0 .
$$

母线在别的坐标面内时，先把方程写成含旋转轴坐标的形式，再替换与旋转轴垂直的那个坐标。

> [!TIP]
> 绕哪根轴旋转，哪个变量就不动，另一个变量换成另外两个变量平方和的平方根。替换时应取正负分支所对应点集的并；能否平方消去符号取决于母线方程，还要检查原方程的约束，避免漏掉或引入点。

## 例子

**母线 $z=y^2$ 绕 $z$ 轴旋转**

母线在 $yOz$ 面内，方程写成 $z-y^2=0$。绕 $z$ 轴旋转时 $z$ 不变，把 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$：

$$
z-(x^2+y^2)=0,
$$

即

$$
z=x^2+y^2 .
$$

这是旋转抛物面。用 $z=z_0\ge 0$ 去截，得到半径 $\sqrt{z_0}$ 的圆，半径随 $z_0$ 增大而增大，所以曲面越往上越宽。

## 探索

交互演示：旋转母线怎样形成曲面？。改变母线位置和旋转角，查看曲面上的点。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 母线 $z=y^2$ 在 $yOz$ 面内，绕 $z$ 轴旋转所得曲面的方程是：

   * A.  $z=x^2+y^2$
   * B.  $z=x^2-y^2$
   * C.  $x^2+y^2=z^2$
   * D.  $z^2=x^2+y^2$

   答案：A

   绕 $z$ 轴旋转时 $z$ 不变，把 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$，平方后得 $z=x^2+y^2$。