# 空间曲线及其方程

## 定义

### 一般方程

空间曲线 $C$ 通常看作两个曲面 $S_1$ 与 $S_2$ 的交线。设两曲面的方程分别为 $F(x,y,z)=0$ 与 $G(x,y,z)=0$，则

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0
\end{cases}
$$

称为曲线 $C$ 的**一般方程**。点 $(x,y,z)$ 在 $C$ 上，当且仅当它同时满足这两个方程，即同时位于两个曲面上。

两个曲面不能重合，否则交集是曲面而不是曲线。一般方程也不唯一：过曲线 $C$ 的任意两个曲面都可以组成 $C$ 的一般方程，取不同的曲面会得到不同的写法。

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### 参数方程

把曲线上点的坐标写成同一个参数 $t$ 的函数：

$$
\begin{cases}
x=x(t),\\
y=y(t),\\
z=z(t),
\end{cases}
\quad t\in[\alpha,\beta].
$$

$t$ 通常代表时间或角度，$t$ 取遍 $[\alpha,\beta]$ 时点 $(x(t),y(t),z(t))$ 描出整条曲线。参数方程给出了点的运动顺序，一般方程只给出点必须同时满足的条件。

两种方程描述同一条曲线。常见的曲线可以互化：从参数方程消去 $t$ 可得一般方程；从一般方程解出 $x,y,z$ 关于某个参数的表达式，可得参数方程。参数方程不唯一，同一曲线可以用不同的参数写出，参数区间的取法也会影响曲线被描出的次数。

## 性质

### 投影柱面与投影曲线

设空间曲线 $C$ 的一般方程为

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0 .
\end{cases}
$$

从方程组中消去 $z$，得到只含 $x,y$ 的方程

$$
H(x,y)=0 .
$$

$C$ 上每一点的坐标都满足 $H(x,y)=0$，而 $H(x,y)=0$ 在空间中表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面，$C$ 整个落在这个柱面上。这个柱面称为 $C$ 关于 $Oxy$ 面的**投影柱面**。

投影柱面与 $Oxy$ 面的交线就是 $C$ 在 $Oxy$ 面上的**投影曲线**，其方程为

$$
\begin{cases}
H(x,y)=0,\\
z=0 .
\end{cases}
$$

投影曲线只含 $x,y$ 两个变量，是一条平面曲线。同理，消去 $y$ 得到关于 $Oxz$ 面的投影柱面，再与 $y=0$ 联立得到 $Oxz$ 面上的投影曲线；消去 $x$ 则对应 $Oyz$ 面。

> [!WARNING]
> 消元得到的 $H(x,y)=0$ 是投影柱面，不是投影曲线。投影曲线还要与坐标面方程 $z=0$ 联立。反过来，柱面上的点也不一定都在 $C$ 上：消元只保留了必要条件，个别点上可能解不出对应的 $z$，需要回代检验。

求投影曲线的步骤：

1. **写出曲线的方程**

   一般方程或参数方程都可以；用参数方程时，后面消去的是参数 $t$。

2. **消去一个变量**

   求 $Oxy$ 面上的投影时消去 $z$：把两个方程联立消去 $z$，得到只含 $x,y$ 的方程 $H(x,y)=0$。

3. **与投影面联立**

   把 $H(x,y)=0$ 与 $z=0$ 写在一起，才是投影曲线的方程。

4. **回代检验范围**

   把结果代回原方程，确认哪些部分真正属于 $C$，并注明 $x,y$ 的取值范围。

这与曲面的截痕法方向相反：截痕法用平面去截已知曲面，投影则把空间曲线压到一个坐标面上。两种手段常常一起用，先用截痕判断曲线的大致形状，再用投影写出它在坐标面上的方程。

## 例子

**螺旋线**

一个点在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上匀速旋转，同时沿 $z$ 轴方向匀速上升，其轨迹的参数方程为

$$
\begin{cases}
x=a\cos\theta,\\
y=a\sin\theta,\\
z=b\theta,
\end{cases}
\quad \theta\in\mathbb{R},
$$

其中 $a>0$ 是圆柱的半径，$b$ 决定上升的快慢。$\theta$ 增加 $2\pi$ 时点回到同一方位，$z$ 增加 $2\pi b$，这就是旋转一周上升的高度，螺距为 $2\pi\vert b\vert$。$b>0$ 时向上盘旋，$b<0$ 时向下，$b=0$ 时退化为圆 $x^2+y^2=a^2$、$z=0$。

螺旋线在 $Oxy$ 面上的投影柱面就是圆柱面 $x^2+y^2=a^2$，投影曲线是圆 $x^2+y^2=a^2$、$z=0$；在 $Oxz$ 面上的投影是正弦型曲线 $x=a\cos(z/b)$（$b\ne 0$）。

**平面斜截圆柱面所得的曲线**

研究由方程组

$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1,\\
z=x+y
\end{cases}
$$

定义的曲线 $C$。第一个方程是母线平行于 $z$ 轴的圆柱面，第二个方程是平面，$C$ 是平面与圆柱面的交线。

求它关于 $Oxy$ 面的投影：两个方程中已经不含需要消去的变量，投影柱面就是圆柱面 $x^2+y^2=1$，投影曲线为

$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1,\\
z=0,
\end{cases}
$$

即 $Oxy$ 面上的单位圆。

曲线本身不是这个圆。把 $C$ 参数化可以看清这一点：

$$
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\cos t+\sin t .
$$

$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时曲线闭合，而 $z=\cos t+\sin t$ 在 $\pm\sqrt2$ 之间变化，点一边绕圆一周一边上下移动，所以曲线是平面 $z=x+y$ 上的一条闭合曲线。

用截痕法看：用 $z=z_0$ 去截，交点要同时满足 $x+y=z_0$ 与 $x^2+y^2=1$，只有 $\vert z_0\vert\le\sqrt2$ 时才有交点，$z_0$ 变化时交点沿圆移动。平面与圆柱的轴斜交，截口被拉长，所以这条曲线是椭圆，而不是圆。

## 探索

交互演示：空间曲线如何投影到坐标平面？。查看螺旋线点及其在xy平面的投影。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 曲线 $C$：$x^2+y^2=1$ 与 $z=x+y$ 的交线，关于 $Oxy$ 面的投影柱面方程是：

   * A.  $x^2+y^2=1$
   * B.  $z=x+y$
   * C.  $x^2+y^2=1$ 且 $z=0$
   * D.  $x^2+y^2+z^2=1$

   答案：A

   消去 $z$ 后得到 $x^2+y^2=1$，这是母线平行 $z$ 轴的柱面，包含整条曲线。

2. 同一曲线在 $Oxy$ 面上的投影曲线方程是：

   * A.  $x^2+y^2=1$
   * B.  $z=x+y$
   * C.  $x^2+y^2=1$ 且 $z=0$
   * D.  $x^2+y^2=1$ 且 $y=0$

   答案：C

   投影曲线是投影柱面与 $Oxy$ 面的交线，必须同时写出 $x^2+y^2=1$ 和 $z=0$。

3. 螺旋线 $x=2\cos\theta$、$y=2\sin\theta$、$z=3\theta$ 旋转一周上升的高度是：

   * A.  $3$
   * B.  $6$
   * C.  $3\pi$
   * D.  $6\pi$

   答案：D

   $\theta$ 增加 $2\pi$ 时 $z$ 增加 $3\cdot 2\pi=6\pi$，这就是旋转一周上升的高度。

4. 要求曲线关于 $Oxz$ 面的投影柱面，应从一般方程中消去哪个变量？

   * A.  $x$
   * B.  $y$
   * C.  $z$
   * D.  参数 $t$

   答案：B

   关于 $Oxz$ 面的投影柱面只含 $x,z$，所以消去 $y$；随后与 $y=0$ 联立得到投影曲线。