# 向量积

## 定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的**向量积**（叉积、外积）是一个向量 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$，由模和方向共同确定：

1. 模 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积；
2. 方向同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，并且 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 依次构成右手系，这就是**右手定则**。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，包括其中一个是零向量的情形。

坐标公式是形式行列式，按第一行展开：

$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=(a_2b_3-a_3b_2)\,\mathbf{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\,\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\,\mathbf{k}.
$$

## 性质

$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a}),\qquad
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c},
$$

$$
(\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\times\mathbf{b}),\qquad
\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0},\qquad
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0.
$$

第一条是反交换律：交换两个因子，结果反向。最后一条说明向量积的结果确实同时垂直于两个因子。模还满足拉格朗日恒等式

$$
|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2,
$$

代入 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ 即得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义一致；证明见下文。

向量积的两个直接用途：结果向量是同时垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的法方向，单位化后可作为法向量；它的模给出平行四边形面积，三角形面积为 $\frac12|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。需要单位法向量时，把 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 除以它的模，方向由右手定则确定；若题目要求指向某一侧，整体取反即可，不要改动两个因子的顺序。

## 证明

**坐标公式与几何定义一致**

记 $\mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。按坐标公式展开模的平方：

$$
|\mathbf{p}|^2=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2.
$$

另一方面，展开 $|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2$：

$$
(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2
=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2.
$$

右端的三项正是 $|\mathbf{p}|^2$ 的三项，因此

$$
|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2
=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2\sin^2\theta.
$$

当 $0\le\theta\le\pi$ 时 $\sin\theta\ge0$，开方得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义中的模一致。

再看方向。按坐标公式，

$$
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})
=a_1(a_2b_3-a_3b_2)+a_2(a_3b_1-a_1b_3)+a_3(a_1b_2-a_2b_1)=0,
$$

同法可得 $\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0$，所以结果同时垂直于两个因子。坐标式还满足 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$，与右手定则的方向一致；结合双线性，可确定非平行因子的方向。

## 例子

**用向量积求三角形面积与法向量**

设 $A(1,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,3)$，取

$$
\overrightarrow{AB}=(-1,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,3).
$$

于是

$$
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
=(2\cdot3-0\cdot0,\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3,\ (-1)\cdot0-2\cdot(-1))
=(6,3,2).
$$

它的模为 $\sqrt{36+9+4}=7$，所以三角形面积为 $\frac72$。向量 $(6,3,2)$ 同时垂直于 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$，是三角形所在平面的法方向，单位法向量为 $\pm\frac17(6,3,2)$。

## 探索

交互演示：面积与方向，来自同一个叉积。旋转平面向量，观察平行四边形面积与法向分量的符号。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $\mathbf{a}=(1,0,0)$，$\mathbf{b}=(0,1,0)$，则 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=$

   * A.  $(0,0,1)$
   * B.  $(0,0,-1)$
   * C.  $(1,1,0)$
   * D.  $(0,0,0)$

   答案：A

   按行列式展开得 $(0,0,1)$，方向也符合右手定则。

2. 以 $A(1,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,3)$ 为顶点的三角形面积是 \_\_\_\_\_\_（area）。

   答案：3.5

   $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,3,2)$，模为 $7$，三角形面积取一半，得 $\frac72=3.5$。