# 向量及其线性运算 ## 定义 空间中既有大小又有方向的量称为**向量**，用粗体字母 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 表示。向量的长度称为**模**，记作 $|\mathbf{a}|$。模为 $1$ 的向量称为**单位向量**，模为 $0$ 的向量称为**零向量**，记作 $\mathbf{0}$。 向量由模和方向确定，与起点的位置无关：模相等、方向相同的两个向量视为同一个向量，因此可以平移后再比较。模相等、方向相反的向量互为**负向量**，$\mathbf{a}$ 的负向量记作 $-\mathbf{a}$。方向相同或相反的非零向量称为**共线向量**，也称平行向量，记作 $\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$；并规定零向量与任何向量平行。 对非零向量 $\mathbf{a}$，与它同向的单位向量为 $$ \mathbf{e}_a=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}. $$ ### 空间直角坐标系 取两两垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，使 $x\to y\to z$ 的方向符合右手定则，得到右手系 $O-xyz$。沿三个轴的正向各取单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，它们构成一组基。空间任一点 $P$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$ 可以唯一地写成 $$ \overrightarrow{OP}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}=(a_x,a_y,a_z), $$ 有序三元组 $(a_x,a_y,a_z)$ 就是向量 $\overrightarrow{OP}$ 在这组基下的**坐标**，$a_x,a_y,a_z$ 分别称为它在 $x,y,z$ 轴方向上的分量。 以 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为起点、$M_2(x_2,y_2,z_2)$ 为终点的向量按“终点减起点”计算： $$ \overrightarrow{M_1M_2}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1). $$ 零向量的坐标是 $(0,0,0)$。坐标依赖所选的基，本节所有坐标公式都在同一组基下计算。 ## 性质 ### 线性运算 设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\lambda\in\mathbb{R}$，则加减法与数乘都按分量进行： $$ \mathbf{a}\pm\mathbf{b}=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2,\ a_3\pm b_3),\qquad \lambda\mathbf{a}=(\lambda a_1,\ \lambda a_2,\ \lambda a_3). $$ 由定义可直接得到 $$ \mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a},\qquad (\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}), $$ $$ \lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b},\qquad (\lambda+\mu)\mathbf{a}=\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{a},\qquad 1\mathbf{a}=\mathbf{a}. $$ ### 平行与共线 对 $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$，$\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$ 当且仅当存在唯一实数 $\lambda$ 使 $$ \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}, $$ 即 $(a_1,a_2,a_3)=\lambda(b_1,b_2,b_3)$。若 $b_1,b_2,b_3$ 都不为零，这个条件可以写成比值形式 $$ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\lambda. $$ $\lambda>0$ 时两向量同向，$\lambda<0$ 时反向，$|\lambda|$ 是两者模之比。 **比值形式默认分母不为零。** 若 $\mathbf{b}$ 有分量为 $0$，对应的 $\mathbf{a}$ 分量也必须为 $0$，这时应回到 $\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$ 判断；直接写比值会漏掉这类情形。 ### 模 $$ |\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}, $$ 且 $|\mathbf{a}|\ge 0$，$|\mathbf{a}|=0$ 当且仅当 $\mathbf{a}=\mathbf{0}$。数乘满足 $|\lambda\mathbf{a}|=|\lambda|\,|\mathbf{a}|$，模还满足三角不等式 $$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|. $$ ### 方向角与方向余弦 非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角 $\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi]$ 称为它的**方向角**，其余弦称为**方向余弦**： $$ \cos\alpha=\frac{a_1}{|\mathbf{a}|},\qquad \cos\beta=\frac{a_2}{|\mathbf{a}|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_3}{|\mathbf{a}|}. $$ 三者满足 $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1, $$ 并且 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 正是与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量 $\mathbf{e}_a$ 的坐标。 方向角量的是与三条坐标轴**正向**的夹角，不是与坐标轴所在直线的夹角，也不是与坐标平面的夹角。零向量没有方向，因此没有方向角。 ### 投影 设 $\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，则 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的**投影**是一个数 $$ \operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos\theta. $$ $\theta$ 为锐角时投影为正，为钝角时为负，$\theta=90^\circ$ 时投影为零。把投影乘上 $\mathbf{b}$ 方向的单位向量，得到**投影向量** $$ (\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a})\,\mathbf{e}_b. $$ 投影对第一个向量是线性的： $$ \operatorname{Prj}_{\mathbf b}(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}_1+\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}_2, \qquad \operatorname{Prj}_{\mathbf b}(\lambda\mathbf{a})=\lambda\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}. $$ 用数量积表示就是 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_b$，数量积的定义见[数量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/dot-product/)。 > [!IMPORTANT] > 平行、模、投影是三个不同的判断：平行看两个向量的坐标能否互相表示，模只量长度、不区分方向，投影则把向量压成一个带符号的数，所以它可以是负的。做题时先写清楚要求的是哪一个量，再选公式。 ## 证明 **方向余弦的平方和** 把三个方向余弦平方后相加，并代入它们的坐标表达式： $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\frac{a_1^2}{|\mathbf{a}|^2}+\frac{a_2^2}{|\mathbf{a}|^2}+\frac{a_3^2}{|\mathbf{a}|^2} =\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{|\mathbf{a}|^2}. $$ 由模的坐标公式，分子等于 $|\mathbf{a}|^2$，所以 $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{|\mathbf{a}|^2}{|\mathbf{a}|^2}=1. $$ 这个等式说明方向余弦不能随意给定：确定其中两个后，第三个的绝对值随之确定，符号仍要看向量的方向。它也说明单位向量的坐标就是一组方向余弦。 ## 例子 **由两点求向量、模与方向余弦** 设 $A(2,-1,1)$，$B(4,1,2)$，则 $$ \overrightarrow{AB}=(4-2,\ 1-(-1),\ 2-1)=(2,2,1), $$ $$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3. $$ 方向余弦为 $\cos\alpha=\frac23$、$\cos\beta=\frac23$、$\cos\gamma=\frac13$，与 $\overrightarrow{AB}$ 同向的单位向量为 $$ \mathbf{e}_{AB}=\left(\frac23,\frac23,\frac13\right). $$ 代回平方和验证：$\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac13\right)^2=1$。 **平行与数乘** 取 $\mathbf{a}=(1,-2,3)$，$\mathbf{b}=(-2,4,-6)$。因为 $\mathbf{b}=-2\mathbf{a}$，所以两向量平行且方向相反，且 $|\mathbf{b}|=2|\mathbf{a}|$。 再算 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$： $$ (2,-4,6)+(-2,4,-6)=(0,0,0), $$ 结果为零向量，这正是 $\mathbf{b}=-2\mathbf{a}$ 的另一种写法。 **投影可以是负数** 取 $\mathbf{a}=(1,2,2)$，$\mathbf{b}=(0,0,1)$。$\mathbf{b}$ 是 $z$ 轴正方向的单位向量，所以 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的投影就是 $\mathbf{a}$ 的 $z$ 分量： $$ \operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=a_z=2. $$ 若改取 $\mathbf{a}'=(-1,-2,-2)$，则 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}'=-2$。此时夹角为钝角，投影为负，而模 $|\mathbf{a}'|=3$ 仍然为正。 ## 探索 交互演示：向量相加时坐标怎样变化？。调整第二个向量并计算和向量。 请在站点操作演示。 ## 练习 1. 已知 $A(1,1,1)$，$B(2,3,3)$，则 $|\overrightarrow{AB}|=$ \_\_\_\_\_\_（norm）。 答案：3 $\overrightarrow{AB}=(1,2,2)$，模为 $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$。 2. 与 $\mathbf{a}=(1,2,2)$ 同向的单位向量是： * A. $(1,2,2)$ * B. $\left(\frac13,\frac23,\frac23\right)$ * C. $\left(\frac23,\frac23,\frac13\right)$ * D. $\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$ 答案：B $|\mathbf{a}|=3$，把每个分量除以 $3$ 即可。 3. 设 $\mathbf{a}=(1,-2,3)$，$\mathbf{b}=(-2,4,-6)$。 1. 使 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ 的 $\lambda=$ \_\_\_\_\_\_（lambda）。 答案：-2 逐分量比较，$(-2,4,-6)=-2(1,-2,3)$。 2. 两个向量的关系是： * A. 平行且同向 * B. 平行且反向 * C. 垂直 * D. 既不平行也不垂直 答案：B $\lambda=-2<0$，所以方向相反。 4. 设 $\mathbf{a}=(2,1,-2)$，$\mathbf{b}=(0,0,1)$，则 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=$ \_\_\_\_\_\_（prj）。 答案：-2 $\mathbf{b}$ 是单位向量，投影等于 $a_z=-2$。夹角为钝角，所以投影为负。 5. 非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $x$ 轴正向、$y$ 轴正向的夹角分别为 $60^\circ$ 与 $45^\circ$，则它与 $z$ 轴正向的夹角是： * A. 只能是 $60^\circ$ * B. 只能是 $120^\circ$ * C. $60^\circ$ 或 $120^\circ$ * D. $45^\circ$ 或 $135^\circ$ 答案：C 由平方和等于 $1$ 得 $\cos^2\gamma=1-\frac14-\frac12=\frac14$，所以 $\cos\gamma=\pm\frac12$，对应 $60^\circ$ 与 $120^\circ$。方向余弦的符号由向量指向决定，两种情形都能取到。