# 柯西中值定理

## 定理

若 $f$ 与 $g$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 对任意 $x\in(a,b)$，$g'(x)\ne0$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$

把 $x$ 看作参数，柯西中值定理就是参数方程 $X=g(x)$、$Y=f(x)$ 所表示的曲线上的中值定理：曲线上至少存在一点，其切线斜率等于端点连线的斜率。

> [!NOTE]
> 条件3保证 $g(b)\ne g(a)$，因此分母不为零。若 $g(b)=g(a)$，对 $g$ 用罗尔定理会得到某个内点处 $g'=0$，与条件3矛盾。

## 证明

由条件3与罗尔定理，$g(b)\ne g(a)$：否则 $g$ 在两端取值相等，罗尔定理将给出某个内点处 $g'=0$。构造辅助函数

$$
F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\bigl(g(x)-g(a)\bigr).
$$

$F$ 满足罗尔定理的全部条件，且 $F(a)=F(b)=0$。于是存在 $\xi\in(a,b)$ 使

$$
F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0.
$$

由 $g'(\xi)\ne0$，把上式整理为

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$

## 例子

**验证柯西中值定理：$f(x)=x^2$，$g(x)=x^3$ 在 $[1,2]$ 上**

$f$ 与 $g$ 在 $[1,2]$ 上连续、在 $(1,2)$ 内可导，且 $g'(x)=3x^2>0$，满足 $g'\ne0$。左端为

$$
\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{4-1}{8-1}=\frac{3}{7},
$$

右端为 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{2\xi}{3\xi^2}=\dfrac{2}{3\xi}$。令 $\dfrac{2}{3\xi}=\dfrac{3}{7}$，得 $\xi=\dfrac{14}{9}\in(1,2)$。

## 探索

交互演示：两个函数的增量比与导数比如何对应？。调整右端点，计算增量比和一个中值点。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 对 $f(x)=x^2$、$g(x)=x^3$ 在 $[1,2]$ 上使用柯西中值定理，得到的中值点是：

   * A.  $\dfrac{14}{9}$
   * B.  $\dfrac{3}{2}$
   * C.  $\dfrac{4}{3}$
   * D.  $2$

   答案：A

   $\dfrac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\dfrac{3}{7}$，而 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{2}{3\xi}$，解得 $\xi=\dfrac{14}{9}$。