# 复合函数的链式法则

## 定理

设 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},
$$

或写成

$$
[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x).
$$

<!-- more -->

也就是说，复合函数对自变量的导数，等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量的导数。

### 多重复合

若 $y=f(u)$、$u=g(v)$、$v=h(x)$，则

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}
\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}
\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}.
$$

从最外层开始逐层求导，每穿过一层就乘上该层内层函数的导数。

## 证明

记 $u_0=g(x_0)$，$\Delta u=g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$，$\Delta y=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)$。

因为 $f$ 在 $u_0$ 处可导，定义

$$
\varepsilon(\Delta u)=
\begin{cases}
\dfrac{f(u_0+\Delta u)-f(u_0)}{\Delta u}-f'(u_0), & \Delta u\ne 0,\\[4pt]
0, & \Delta u=0.
\end{cases}
$$

则 $\lim_{\Delta u\to 0}\varepsilon(\Delta u)=0$，并且对 $\Delta u=0$ 也成立

$$
\Delta y=\bigl(f'(u_0)+\varepsilon(\Delta u)\bigr)\Delta u.
$$

两边除以 $\Delta x\ne 0$：

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}
=\bigl(f'(u_0)+\varepsilon(\Delta u)\bigr)\frac{\Delta u}{\Delta x}.
$$

由 $g$ 在 $x_0$ 处可导知 $g$ 在 $x_0$ 处连续，所以 $\Delta x\to 0$ 时 $\Delta u\to 0$，从而 $\varepsilon(\Delta u)\to 0$。又 $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\to g'(x_0)$，故

$$
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
=f'(u_0)g'(x_0).
$$

::\:

## 例子

**$y=\sin 2x$**

外层是 $\sin u$，内层是 $u=2x$：

$$
y'=\cos(2x)\cdot 2=2\cos 2x.
$$

**$y=e^{x^2}$**

外层是 $e^u$，内层是 $u=x^2$：

$$
y'=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2}.
$$

**$y=\ln(\cos x)$**

外层是 $\ln u$，内层是 $u=\cos x$：

$$
y'=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tan x.
$$

**$y=(1+x^2)^{10}$**

外层是 $u^{10}$，内层是 $u=1+x^2$：

$$
y'=10(1+x^2)^9\cdot 2x=20x(1+x^2)^9.
$$

> [!TIP]
> 求导前先分层：把复合函数写成 $y=f(u)$、$u=g(x)$，再分别求 $f'(u)$ 与 $g'(x)$。熟练后可以跳过显式换元，但每一层的导数都不能漏乘。

## 探索

交互演示：复合函数的变化率如何相乘？。分解sin(x²) 的内层和外层变化率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $f(x)=\sin(x^2)$ 在 $x=0$ 处的导数是 \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：0

   $f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$，代入 $x=0$ 得 $0$。

2. $f(x)=e^{2x}$ 的导数是：

   * A.  $e^{2x}$
   * B.  $2e^{2x}$
   * C.  $2xe^{2x}$
   * D.  $e^{2}$

   答案：B

   外层导数为 $e^{2x}$，内层导数为 $2$，相乘得 $2e^{2x}$。