# 基本求导公式与四则运算法则

## 公式

### 基本初等函数的导数

| 函数 $y=f(x)$               | 导函数 $y'=f'(x)$                   | 条件                     |
| :------------------------ | :------------------------------- | :--------------------- |
| $C$                       | $0$                              | $C$ 为常数                |
| $x^n$                     | $nx^{n-1}$                       | $n$ 为任意实数              |
| $a^x$                     | $a^x\ln a$                       | $a>0$ 且 $a\ne 1$       |
| $e^x$                     | $e^x$                            | —                      |
| $\log_a x$                | $\dfrac{1}{x\ln a}$              | $a>0$ 且 $a\ne 1$，$x>0$ |
| $\ln x$                   | $\dfrac{1}{x}$                   | $x>0$                  |
| $\sin x$                  | $\cos x$                         | —                      |
| $\cos x$                  | $-\sin x$                        | —                      |
| $\tan x$                  | $\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$   | $\cos x\ne 0$          |
| $\cot x$                  | $-\csc^2 x=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $\sin x\ne 0$          |
| $\arcsin x$               | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$        | $\lvert x\rvert<1$     |
| $\arccos x$               | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$       | $\lvert x\rvert<1$     |
| $\arctan x$               | $\dfrac{1}{1+x^2}$               | —                      |
| $\operatorname{arccot} x$ | $-\dfrac{1}{1+x^2}$              | —                      |

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### 四则运算的求导法则

设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可导，则

$$
[Cu]'=Cu',\qquad [u\pm v]'=u'\pm v',
$$

$$
[uv]'=u'v+uv',\qquad
\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0).
$$

三个函数相乘时，

$$
[uvw]'=u'vw+uv'w+uvw'.
$$

商法则有一个常用特例：

$$
\left[\frac{C}{v}\right]'=-\frac{Cv'}{v^2}\quad (v\ne 0).
$$

> [!WARNING]
> 求导法则只保证“可导函数的和、差、积、商仍可导”。使用商法则前要先确认分母在该点不为零；使用幂函数公式时，指数可以是任意实数，但底数为负数时定义域可能受限。

## 例子

**多项式逐项求导**

求 $f(x)=3x^2-2x+1$ 的导数。

逐项使用幂函数与常数公式：

$$
f'(x)=3\cdot 2x-2+0=6x-2.
$$

**乘积法则**

求 $f(x)=x^2\sin x$ 的导数。

$$
f'(x)=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'
=2x\sin x+x^2\cos x.
$$

**商法则**

求 $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ 的导数。

$$
f'(x)=\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^2}
=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}
=-\frac{2}{(x-1)^2}.
$$

## 练习

1. $f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 处的导数是 \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：3

   $f'(x)=3x^2$，所以 $f'(1)=3$。

2. $f(x)=x\sin x$ 的导数是：

   * A.  $\sin x+x\cos x$
   * B.  $\cos x$
   * C.  $x\cos x$
   * D.  $\sin x-x\cos x$

   答案：A

   由乘积法则，$(x)'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x$。

## 与其他求导方法的关系

公式表只覆盖基本初等函数。遇到复合函数、隐函数、反函数或参数方程时，需要配合[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)、[隐函数求导](/knowledge/maths/derivatives/implicit-differentiation/)、[反函数的导数](/knowledge/maths/derivatives/inverse-function-derivative/)和[参数方程求导](/knowledge/maths/derivatives/parametric-derivative/)。幂指函数的求导见[幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/)。