# 导数的定义与几何意义

## 定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若差商

$$
\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$

当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处**可导**，并把这个极限称为 $f$ 在 $x_0$ 处的**导数**，记作

$$
f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
$$

<!-- more -->

若 $f$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则 $x \mapsto f'(x)$ 构成一个新函数，称为 $f$ 的**导函数**，简称导数。

### 单侧导数

$$
f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\qquad
f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
$$

$f$ 在 $x_0$ 处可导，当且仅当左右导数都存在且相等。

## 性质

### 几何意义

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率就是 $f'(x_0)$。因此切线方程为

$$
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
$$

当 $f'(x_0)\ne 0$ 时，法线斜率为 $-1/f'(x_0)$。导数也可以读作函数在该点的瞬时变化率。

### 可导与连续

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续；反之不成立。证明与反例见[函数在一点的连续性](/knowledge/maths/limits/continuity/)。

### 常用记号

$f'(x_0)$、$y'\big|_{x=x_0}$ 与 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 表示同一个量。$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 强调整体作为差商极限，不能把它拆成两个独立的量。

## 例子

**用定义求 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的导数**

$$
f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0}(2+\Delta x)=2.
$$

所以曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。

**$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导**

$$
f'_-(0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1,\qquad
f'_+(0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=1.
$$

左右导数不相等，所以 $f'(0)$ 不存在。这个例子说明连续不足以保证可导。

## 练习

1. 曲线 $y=x^2$ 在点 $(2,4)$ 处的切线斜率是 \_\_\_\_\_\_（slope）。

   答案：4

   $f'(x)=2x$，所以 $f'(2)=4$。

2. 关于 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处，下列叙述正确的是哪些？

   * A.  函数连续
   * B.  左导数为 $-1$
   * C.  右导数为 $1$
   * D.  函数可导

   答案：A、B、C

   左右导数存在但不相等，因此不可导；函数本身仍然连续。

## 交互探索

交互演示：割线怎样趋近切线？。改变两个点的间距，观察割线斜率如何接近曲线在一点的导数。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> **观察什么**
>
> 固定曲线上的点，缩小另一点与它的横向间距。割线斜率的极限就是该点切线的斜率，也就是导数。