# 微分与线性近似

## 定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间内有定义，$x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 都在该区间内。若函数的增量

$$
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
$$

可以写成

$$
\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)\qquad(\Delta x\to0),
$$

其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处**可微**，并把线性部分

$$
\mathrm{d}y=A\,\Delta x
$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的**微分**。

这里 $o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $\Delta y$ 与 $A\Delta x$ 之差趋于 $0$ 的速度比 $\Delta x$ 更快。所以 $\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的**线性主部**：$|\Delta x|$ 足够小时，$\Delta y\approx\mathrm{d}y$。

规定自变量的微分就是它的增量，

$$
\mathrm{d}x=\Delta x,
$$

由下文可微与可导的充要条件，可微时 $A=f'(x_0)$，于是微分通常写成

$$
\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x .
$$

> [!NOTE]
> $\mathrm{d}x$ 是一个整体记号，表示自变量的增量，不是 $\mathrm{d}$ 与 $x$ 相乘。$\mathrm{d}y$ 同时依赖所在点 $x$ 和增量 $\mathrm{d}x$ 两个量。

## 可微与可导

### 充要条件

一元函数 $f$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件是 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并且此时

$$
A=f'(x_0),\qquad
\mathrm{d}y=f'(x_0)\,\mathrm{d}x .
$$

**证明**

若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$。两边除以 $\Delta x$：

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}
=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to A,
$$

所以 $f'(x_0)$ 存在，且等于 $A$。

反过来，若 $f'(x_0)$ 存在，令

$$
\varepsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0),
$$

则 $\Delta x\to0$ 时 $\varepsilon\to0$，且

$$
\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\varepsilon\Delta x,
\qquad \varepsilon\Delta x=o(\Delta x),
$$

故 $f$ 在 $x_0$ 处可微，且 $A=f'(x_0)$。

因此求微分归结为求导数再乘以 $\mathrm{d}x$。下面讨论一元函数；多元函数中偏导数存在与可微是两件不同的事。

### 几何意义

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为

$$
y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
$$

当自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时，$\Delta y$ 是曲线上纵坐标的增量，$\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$ 是同一切线上纵坐标的增量。两者之差 $o(\Delta x)$ 就是曲线偏离切线的部分。

所以 $\Delta x$ 很小时可以用切线段代替曲线段，即**以直代曲**：

$$
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x .
$$

### 运算法则

微分法则与导数法则一致。设 $u$、$v$ 可微，则

$$
\mathrm{d}(Cu)=C\,\mathrm{d}u,\qquad
\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v,
$$

$$
\mathrm{d}(uv)=v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)
=\frac{v\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}v}{v^2}\quad(v\ne0).
$$

以乘积为例，由 $\mathrm{d}(uv)=(uv)'\mathrm{d}x$ 得

$$
\mathrm{d}(uv)=(u'v+uv')\mathrm{d}x
=v\,(u'\mathrm{d}x)+u\,(v'\mathrm{d}x)
=v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v .
$$

其余法则可以同样验证。更完整的求导公式见[基本求导公式与四则运算法则](/knowledge/maths/derivatives/derivative-formulas/)；复合函数的微分要用[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)。

> [!TIP]
> 计算微分时先求导，再在末尾乘 $\mathrm{d}x$。例如 $y=x^2e^x$ 的导数是 $e^x(x^2+2x)$，所以 $\mathrm{d}y=e^x(x^2+2x)\,\mathrm{d}x$。

### 近似计算

#### 近似公式

当 $|\Delta x|$ 很小时，用 $\mathrm{d}y$ 代替 $\Delta y$：

$$
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x .
$$

令 $x=x_0+\Delta x$，也可写成

$$
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
$$

这就是用切线代替曲线得到的线性近似。

1. **选基点**

   取 $x_0$ 使 $f(x_0)$ 与 $f'(x_0)$ 都容易计算，并且 $x$ 离 $x_0$ 足够近。

2. **算增量与微分**

   令 $\Delta x=x-x_0$，计算 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$。

3. **相加并说明精度**

   得到 $f(x)\approx f(x_0)+\mathrm{d}y$。误差是 $o(\Delta x)$，$\Delta x$ 越小，近似越可靠。

#### 常用近似公式

取 $x_0=0$，当 $|x|$ 很小时：

$$
(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x,\qquad
\sqrt{1+x}\approx1+\frac12x,\qquad
\frac{1}{1+x}\approx1-x,
$$

$$
\sin x\approx x,\qquad
\tan x\approx x,\qquad
e^x\approx1+x,\qquad
\ln(1+x)\approx x .
$$

前三个式子是同一个公式的特例：$\alpha=\dfrac12$ 给出 $\sqrt{1+x}$，$\alpha=-1$ 给出 $\dfrac{1}{1+x}$。这一组都可以由 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$ 得到，只在 $x\to0$ 时有效。

#### 误差估计

设 $A$ 为准确值，$a$ 为近似值，则

* **绝对误差**：$|A-a|$；
* **相对误差**：$\dfrac{|A-a|}{|A|}$，实际估计时常用 $\dfrac{|A-a|}{|a|}$。

用微分近似时，误差 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$，所以 $|\Delta x|$ 足够小时，绝对误差是比 $|\Delta x|$ 高阶的无穷小。实际测量中常把测量误差当作 $\Delta x$，用 $\mathrm{d}y=f'(x)\Delta x$ 估计函数值的误差。

## 例子

**近似 $\sqrt{1.02}$**

取 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=1$，$\Delta x=0.02$。则 $f(1)=1$，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(1)=\dfrac12$。于是

$$
\sqrt{1.02}\approx1+\frac12\cdot0.02=1.01 .
$$

真实值约为 $1.00995$，近似值偏大约 $0.00005$，误差比 $\Delta x$ 小两个数量级以上。

**微分与增量的差别：$y=\ln(1+x)$**

在 $x=0$ 处取 $\Delta x=0.01$。因为 $f'(0)=1$，

$$
\mathrm{d}y=f'(0)\Delta x=0.01 .
$$

而实际增量

$$
\Delta y=\ln1.01\approx0.00995,
$$

与 $\mathrm{d}y$ 相差约 $5\times10^{-5}$，这个差是 $o(\Delta x)$。$\Delta x$ 越小，两者越接近。

**用微分估计面积误差**

测得圆半径 $r=10\ \mathrm{cm}$，测量误差至多 $0.05\ \mathrm{cm}$。面积 $A=\pi r^2$，$A'(r)=2\pi r$，所以面积的微分为

$$
\mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r
=2\pi\cdot10\cdot0.05
=\pi\approx3.14\ (\mathrm{cm}^2).
$$

这是面积误差的线性估计。相对误差约为

$$
\frac{\mathrm{d}A}{A}=\frac{2\pi r\,\mathrm{d}r}{\pi r^2}
=\frac{2\,\mathrm{d}r}{r}=1\%.
$$

## 探索

交互演示：线性近似与真实变化有多接近？。在4附近用微分近似平方根。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 函数 $y=x^3$ 在 $x=2$ 处、$\Delta x=0.01$ 时的微分 $\mathrm{d}y=$ \_\_\_\_\_\_（cube-dy）。

   答案：0.12

   $y'=3x^2$，$y'(2)=12$，所以 $\mathrm{d}y=12\cdot0.01=0.12$。

2. 用微分近似，$\sqrt{1.04}\approx$ \_\_\_\_\_\_（sqrt-value）。

   答案：1.02

   取 $f(x)=\sqrt{x}$、$x_0=1$、$\Delta x=0.04$，得 $1+\dfrac12\cdot0.04=1.02$。

3. 关于一元函数可微与可导的关系，正确的说法是

   * A.  可微必可导，但可导不一定可微
   * B.  可导必可微，可微也必可导
   * C.  可微与可导没有关系
   * D.  连续必可微

   答案：B

   一元函数在一点可微的充要条件是在该点可导，且 $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$。连续只保证函数值贴近极限值，不足以保证可微。