# 费马引理

## 定理

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若该邻域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处取得**极大值**；若恒有 $f(x)\ge f(x_0)$，则称取得**极小值**，两者统称**极值**。

设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极值。若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则

$$
f'(x_0)=0.
$$

几何上，在曲线光滑的前提下，极值点处的切线是水平的。

> [!WARNING]
> 费马引理只断言“可导的极值点导数为零”，反过来不成立。$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处有 $f'(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点：$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。

## 证明

设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极大值，且在 $x_0$ 处可导。当 $h>0$ 且 $|h|$ 充分小时，$f(x_0+h)\le f(x_0)$，分子非正、分母为正，所以

$$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0.
$$

令 $h\to0^+$，得右导数 $f'_+(x_0)\le0$。当 $h<0$ 且 $|h|$ 充分小时，仍有 $f(x_0+h)\le f(x_0)$，此时分子非正、分母为负，商非负：

$$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0.
$$

令 $h\to0^-$，得左导数 $f'_-(x_0)\ge0$。可导保证左右导数都存在且相等，于是 $f'(x_0)=0$。极小值的情形把两个不等号的方向对调，结论相同。

## 探索

交互演示：导数为零一定是极值吗？。对照平方函数与立方函数在零点的行为。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 对于 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处，下列叙述正确的是哪些？

   * A.  $f'(0)=0$
   * B.  $f$ 在 $x=0$ 处取得极值
   * C.  $f$ 在 $x=0$ 处可导
   * D.  $f$ 在 $x=0$ 处连续

   答案：A、C、D

   $f'(x)=3x^2$，所以 $f'(0)=0$ 且 $f$ 可导，从而连续。但 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，$x=0$ 不是极值点：导数为零只是极值的必要条件。