# 隐函数求导

## 定义

若变量 $y$ 与 $x$ 的关系由方程

$$
F(x,y)=0
$$

给出，而不是写成 $y=f(x)$ 的显式形式，则称 $y$ 是由该方程确定的**隐函数**。

例如 $x^2+y^2=1$ 在上半平面确定 $y=\sqrt{1-x^2}$，在下半平面确定 $y=-\sqrt{1-x^2}$；但在求导时不必先解出 $y$，可以直接对方程两边关于 $x$ 求导。

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隐函数求导的前提是：在所讨论的点附近，方程确实确定了一个可导函数 $y=y(x)$。本页默认这一条件成立，具体的存在条件见[隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/)。

## 方法

1. 对方程 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导。
2. 把 $y$ 看作 $x$ 的函数。对含 $y$ 的项使用链式法则，例如
   $$
   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)=2y\cdot y',\qquad
   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin y)=\cos y\cdot y'.
   $$
3. 把含 $y'$ 的项移到一边，解出 $y'$。结果通常同时含有 $x$ 和 $y$，这是正常的。

> [!WARNING]
> 对 $y$ 求导时不要漏乘 $y'$。把 $y$ 当作常数是隐函数求导中最常见的错误。

## 例子

**圆 $x^2+y^2=1$**

两边对 $x$ 求导：

$$
2x+2y\cdot y'=0.
$$

解出

$$
y'=-\frac{x}{y}\quad (y\ne 0).
$$

在点 $(0,1)$ 处 $y'=0$，切线水平；在点 $(1,0)$ 处切线竖直，$y'$ 不存在。

**$e^y+xy=1$**

两边对 $x$ 求导，注意 $e^y$ 与 $xy$ 都要用链式法则或乘积法则：

$$
e^y y'+y+xy'=0.
$$

整理得

$$
y'=-\frac{y}{e^y+x}\quad (e^y+x\ne 0).
$$

**先取对数再求导**

方程 $y=x^x$ 两边取对数得 $\ln y=x\ln x$，再对 $x$ 求导：

$$
\frac{y'}{y}=\ln x+1,
$$

所以 $y'=x^x(\ln x+1)$。这类幂指函数的处理见[幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/)。

## 探索

交互演示：圆上的切线斜率如何随位置变化？。用隐函数求导计算单位圆上半圆的斜率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 圆 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线斜率是 \_\_\_\_\_\_（slope）。

   答案：-0.75

   两边求导得 $2x+2yy'=0$，所以 $y'=-x/y=-3/4$。

2. 对 $x^2+y^2=1$ 两边关于 $x$ 求导，$y^2$ 这一项得到：

   * A.  $2y$
   * B.  $2yy'$
   * C.  $2x$
   * D.  $y'$

   答案：B

   $y$ 是 $x$ 的函数，由链式法则 $(y^2)'=2y\cdot y'$。