# 反函数的导数

## 定义

设 $f:I\to J$ 在区间 $I$ 上连续且严格单调，$J=f(I)$，其反函数记为 $x=\varphi(y)$。在对应的内点 $y_0=f(x_0)$ 处，若极限

$$
\varphi'(y_0)=\lim_{h\to0}\frac{\varphi(y_0+h)-\varphi(y_0)}{h}
$$

存在且有限，就称反函数在 $y_0$ 处可导。这里 $h$ 应使 $y_0+h\in J$，原函数和反函数的自变量分别为 $x$ 与 $y$，不能把对应点混为同一个数。

## 定理

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调、可导，且 $f'(x)\ne 0$。则它的反函数 $x=\varphi(y)$ 在对应点可导，且

$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}
=\frac{1}{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}.
$$

也就是说，反函数在 $y$ 处的导数，等于原函数在对应点 $x=\varphi(y)$ 处导数的倒数。

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几何上，原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。若原函数在一点切线的斜率为 $k\ne 0$，反函数在对称点切线的斜率就是 $1/k$；原函数切线水平（$k=0$）时，对应反函数没有有限导数。

## 证明

取 $y_0=f(x_0)$。由于 $f$ 连续且严格单调，反函数连续；令 $\Delta x=\varphi(y_0+\Delta y)-\varphi(y_0)$，则 $\Delta y\to0$ 时 $\Delta x\to0$，且 $\Delta y\ne0$ 时 $\Delta x\ne0$。于是

$$
\frac{\varphi(y_0+\Delta y)-\varphi(y_0)}{\Delta y}
=\frac{\Delta x}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}
=\frac{1}{\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}.
$$

分母趋于非零的 $f'(x_0)$，所以差商极限存在，且

$$
\varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}.
$$

这个差商论证同时说明反函数可导并得到公式，无须预先假设反函数已经可导。

## 例子

**$y=x^3$ 的反函数**

$y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调，$y'=3x^2$。在 $x=2$ 处 $y=8$，$y'=12$，所以反函数 $x=\sqrt[3]{y}$ 在 $y=8$ 处的导数为

$$
\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|_{y=8}=\frac{1}{12}.
$$

**由 $\sin$ 的导数得到 $\arcsin$ 的导数**

$y=\sin x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上严格单调，$y'=\cos x$。其反函数 $x=\arcsin y$ 满足

$$
(\arcsin y)'=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},
$$

其中 $\cos x>0$，所以取正根。这正是反正弦函数的导数公式。

> [!NOTE]
> 反函数求导公式里的两个导数取自互相对应的点：原函数在 $x$ 处，反函数在 $y=f(x)$ 处。不要把两个不同点的导数直接相除。

## 探索

交互演示：反函数的导数与原函数有什么关系？。在对应点比较立方函数与立方根函数的斜率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $y=x^3$ 的反函数在 $y=8$ 处的导数是 \_\_\_\_\_\_（value）

   答案：0.0833333

   原函数在 $x=2$ 处导数为 $12$，所以反函数导数为 $1/12$。