# 拉格朗日中值定理

## 定理

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),
$$

或写成

$$
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$

几何上，连接端点 $A(a,f(a))$ 与 $B(b,f(b))$ 的弦斜率为 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$；曲线弧 $AB$ 上至少存在一点 $C(\xi,f(\xi))$，该点处的切线平行于这条弦。

令 $\Delta x=b-a$，$\Delta y=f(b)-f(a)$，拉格朗日公式就写成

$$
\Delta y=f'(\xi)\,\Delta x.
$$

它精确地表达了函数增量与自变量增量的关系，因此也称为**有限增量公式**。注意它与微分的近似式 $\Delta y\approx f'(a)\Delta x$ 不同：有限增量公式是等式，只是中值点 $\xi$ 的位置未知。

## 证明

构造辅助函数

$$
F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).
$$

$F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$，即

$$
f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,
$$

移项即得结论。

## 例子

**验证拉格朗日中值定理：$f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上**

$f$ 在 $[1,3]$ 上连续、在 $(1,3)$ 内可导，且

$$
\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4.
$$

由 $f'(x)=2x$，令 $2\xi=4$ 得 $\xi=2\in(1,3)$，中值点确实存在。

## 探索

交互演示：哪条切线与端点连线平行？。调整区间右端点，比较割线与中值点切线的斜率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 对 $f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上使用拉格朗日中值定理，得到的中值点是 $\xi=$ \_\_\_\_\_\_（point）。

   答案：2

   由 $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=4$ 与 $f'(\xi)=2\xi$，解得 $\xi=2$。