# 参数方程所确定函数的导数

## 公式

设函数由参数方程

$$
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t)
\end{cases}
$$

确定，其中 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 在参数区间内可导，且 $\varphi'(t)\ne 0$。则

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}
=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.
$$

<!-- more -->

这里 $t$ 是参数，不是自变量。$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 仍然是曲线在 $(x(t),y(t))$ 处的切线斜率。

若需要二阶导数，先把 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 写成 $t$ 的函数，再对 $t$ 求导并除以 $\varphi'(t)$：

$$
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}
=\frac{1}{\varphi'(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right).
$$

## 例子

**$x=t^2$，$y=t^3$**

$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t,\qquad
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3t^2,
$$

所以

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}\quad (t\ne 0).
$$

在 $t=1$ 处，曲线在点 $(1,1)$ 的切线斜率为 $\dfrac{3}{2}$。

**单位圆 $x=\cos t$，$y=\sin t$**

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t\quad (\sin t\ne 0).
$$

在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 处斜率为 $-1$，与点 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处圆的切线方向一致。

> [!WARNING]
> 参数方程求导不是分别对 $x$、$y$ 求导后相除就结束，还要确认 $\varphi'(t)\ne 0$。当 $\varphi'(t)=0$ 且 $\psi'(t)\ne 0$ 时，曲线可能出现竖直切线，此时 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 不存在。

## 探索

交互演示：参数变化率如何得到曲线斜率？。比较参数方程中x、y的变化率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 曲线 $x=t^2$，$y=t^3$ 在 $t=2$ 处的切线斜率是 \_\_\_\_\_\_（slope）。

   答案：3

   $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3t}{2}$，代入 $t=2$ 得 $3$。

2. 参数方程求导公式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 要求：

   * A.  $\varphi'(t)\ne 0$
   * B.  $\psi'(t)\ne 0$
   * C.  $\varphi'(t)=\psi'(t)$
   * D.  $t>0$

   答案：A

   $x=\varphi(t)$ 必须能局部确定反函数，因此要求 $\varphi'(t)\ne 0$。