# 罗尔定理

## 定理

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
f'(\xi)=0.
$$

几何上，一段连续光滑、两端等高的曲线弧上，至少有一点的切线是水平的。

## 证明

$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以取得最大值 $M$ 与最小值 $m$。

若 $M=m$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上为常数，$f'\equiv0$，任取 $\xi\in(a,b)$ 都满足 $f'(\xi)=0$。

若 $M>m$，由 $f(a)=f(b)$，最大值与最小值中至少有一个在开区间 $(a,b)$ 内的某点 $c$ 取得；否则最大值与最小值都在端点取得，而两端函数值相等，将推出 $M=m$。函数在 $c$ 处取得极值，又 $c\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $c$ 处可导，由费马引理得 $f'(c)=0$。

## 例子

**验证罗尔定理：$f(x)=x^2-4x+3$ 在 $[1,3]$ 上**

$f(1)=0=f(3)$，且 $f$ 在 $[1,3]$ 上连续、在 $(1,3)$ 内可导。由 $f'(x)=2x-4$，令 $f'(\xi)=0$ 得 $\xi=2\in(1,3)$。

**条件缺失时结论不成立：$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上**

$f$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且 $f(-1)=f(1)=1$，但 $f$ 在 $x=0$ 处不可导。除 $x=0$ 外 $f'(x)=\pm1$，导数值从不为零，所以区间内不存在满足 $f'(\xi)=0$ 的点。这说明罗尔定理中的可导性条件不能省去。

## 探索

交互演示：端点等高时水平切线在哪里？。在一个可调区间上检查罗尔定理。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 与拉格朗日中值定理相比，罗尔定理多出的条件是：

   * A.  $f(a)=f(b)$
   * B.  $f$ 在闭区间上连续
   * C.  $f$ 在开区间内可导
   * D.  $f'$ 在开区间内有界

   答案：A

   两条定理都要求闭区间上连续、开区间内可导；罗尔定理另外要求两端函数值相等。