# 泰勒公式与麦克劳林展开

## 定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有直到 $n$ 阶的导数。以 $x_0$ 为展开点，称

$$
P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次**泰勒多项式**，并把

$$
f(x)=P_n(x)+R_n(x)
$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的**泰勒公式**，其中 $R_n(x)$ 是**余项**，表示用多项式代替函数时产生的误差。

泰勒多项式在 $x_0$ 处与原函数有相同的函数值和直到 $n$ 阶的导数值，所以它在展开点附近贴近原函数；离 $x_0$ 越远，误差通常越大。

### 两种余项

**佩亚诺余项**：

$$
R_n(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)\qquad(x\to x_0).
$$

这里 $o$ 表示高阶无穷小，即 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$。它只说明误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小，适合讨论 $x\to x_0$ 时的极限与无穷小阶。

**拉格朗日余项**：若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间还有 $n+1$ 阶导数，则对介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个 $\xi$，

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$

它给出了误差的表达式，适合估计近似计算的上界。

> [!NOTE]
> 两种余项的前提不同：佩亚诺余项只需要 $f$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，拉格朗日余项要求 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间具有 $n+1$ 阶导数。拉格朗日余项可由[柯西中值定理](/knowledge/maths/derivatives/cauchy-mean-value/)证明。

### 麦克劳林公式

取展开点 $x_0=0$，泰勒公式成为**麦克劳林公式**：

$$
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x).
$$

## 常用展开

以下展开式都在 $x\to0$ 时成立，余项写成佩亚诺形式。

| 函数             | 麦克劳林展开式                                                                                                                                                  |
| :------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $e^x$          | $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$                                                                                      |
| $\sin x$       | $x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k})$                                                                 |
| $\cos x$       | $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{k}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$                                                                     |
| $\ln(1+x)$     | $x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$                                                                  |
| $(1+x)^\alpha$ | $1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$                                             |
| $\arctan x$    | $x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}+o(x^{2k})$                                                       |
| $\arcsin x$    | $x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\dfrac{x^7}{7}+\cdots+o(x^{2k})$ |

> [!NOTE]
> $\sin x$ 的展开只含奇次幂，$\cos x$ 的展开只含偶次幂；两者的系数符号交替，第二项分别是 $-\dfrac{x^3}{3!}$ 与 $-\dfrac{x^2}{2!}$。

$\arctan x$ 与 $\arcsin x$ 的展开不由逐阶求导直接得到，而是先展开导函数再逐项积分：

$$
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots,
$$

右边是公比为 $-x^2$ 的几何级数；

$$
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2},
$$

右边用 $\alpha=-\dfrac12$ 的广义二项式展开。逐项积分后分别得到上表中的两个展开式，积分常数由 $x=0$ 处函数值为 $0$ 确定。

$(1+x)^\alpha$ 的展开称为广义二项式展开，$\alpha$ 为任意实数。当 $\alpha$ 是正整数 $m$ 时，$k>m$ 的各项系数为零，展开式退化为普通的二项式定理。

## 应用

1. **确定展开点与阶数**

   把极限化成 $x\to0$ 的形式，按分母的最低次幂确定要展开到哪一阶；分子出现同阶项相消时，再往下一阶展开。

2. **代入展开式**

   用已知的麦克劳林展开替换各个函数，余项统一写成 $o(x^n)$，只保留到所需阶数。

3. **合并同类项**

   约去公因子，比较剩下的最低次幂，得到极限值或无穷小的阶。

三种典型用法：

* **极限计算**：遇到 $\dfrac{0}{0}$ 型不定式，若洛必达法则需要反复求导，可把分子分母展开成多项式后比较最低次幂，详见[极限的四则运算与比较法则](/knowledge/maths/limits/limit-laws/)。
* **无穷小阶的比较**：展开式中最低次非零项的幂次就是无穷小的阶；只取最低阶非零项，就得到[等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)。
* **近似计算与误差估计**：用 $P_n(x)$ 作为 $f(x)$ 的近似值，用拉格朗日余项给出误差上界——先取 $\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间的最大值，再乘 $\dfrac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$。

## 例子

**用麦克劳林展开求极限**

求

$$
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}.
$$

由 $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，得

$$
\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
=\frac{-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}
=-\frac12+o(1),
$$

所以极限为 $-\dfrac12$。

**用拉格朗日余项估计误差**

用 $P_2(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}$ 近似 $e^x$。当 $|x|\le1$ 时，拉格朗日余项为

$$
R_2(x)=\frac{e^{\xi}}{3!}x^3,
$$

其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。因为此时 $e^{\xi}\le e$、$|x|^3\le1$，所以

$$
|R_2(x)|\le\frac{e}{6}\approx0.454.
$$

这就是用二次多项式近似 $e^x$ 在 $[-1,1]$ 上的误差上界；$|x|$ 越小，误差越小。

**复合函数的展开：$e^{-x^2}$**

在 $e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+o(t^2)$ 中令 $t=-x^2$。当 $x\to0$ 时 $t\to0$，于是

$$
e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4).
$$

把展开式中的变量整体替换，是处理复合函数展开的常用办法；替换后要检查新变量是否仍趋于 $0$。

## 练习

1. $\cos x$ 的麦克劳林展开中，$x^4$ 项的系数是：

   * A.  $\dfrac{1}{24}$
   * B.  $-\dfrac{1}{24}$
   * C.  $\dfrac{1}{12}$
   * D.  $-\dfrac{1}{12}$

   答案：A

   $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$，$x^4$ 项为 $\dfrac{x^4}{24}$。

2. $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：0.5

   由 $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，分子为 $\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，除以 $x^2$ 后极限为 $\dfrac12$。

3. $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=$

   * A.  $-\dfrac{1}{6}$
   * B.  $\dfrac{1}{6}$
   * C.  $0$
   * D.  $-\dfrac12$

   答案：A

   由 $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，分子为 $-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，除以 $x^3$ 得 $-\dfrac16$。若只把 $\sin x$ 展开到 $x$，分子会被误算成 $0$，说明阶数不足。

4. $(1+x)^{1/2}$ 的麦克劳林展开中，$x^2$ 项的系数是：

   * A.  $-\dfrac18$
   * B.  $\dfrac18$
   * C.  $-\dfrac14$
   * D.  $\dfrac14$

   答案：A

   $\alpha=\dfrac12$ 时，$x^2$ 项的系数为 $\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}=\dfrac{\dfrac12\cdot\left(-\dfrac12\right)}{2}=-\dfrac18$。

5. 关于泰勒公式的余项，下列叙述正确的是：

   * A.  佩亚诺余项给出误差的具体上界
   * B.  拉格朗日余项可用于估计近似误差
   * C.  余项在 $n$ 足够大时恒为零
   * D.  麦克劳林公式与泰勒公式无关

   答案：B

   佩亚诺余项只说明误差的阶，给不出上界；拉格朗日余项有具体表达式，可用来估计误差。

## 交互探索

交互演示：多项式怎样贴合曲线？。提高泰勒多项式的次数，观察它在一段区间上逼近正弦曲线。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> 观察什么
>
> 提高多项式次数，观察它在展开点附近怎样贴合 $\sin x$；离开展开点越远，低次多项式偏离得越快。