# 微分方程的基本概念

## 定义

含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量的方程称为**微分方程**。方程中必须出现未知函数的导数或微分，但不必显式出现自变量。

例如 $y'+2xy=\sin x$ 是微分方程；$y^2+x^2=1$ 只含未知函数与自变量，是代数方程，不是微分方程。

### 常微分方程与偏微分方程

* **常微分方程**：未知函数只含一个自变量，例如 $y=y(x)$。
* **偏微分方程**：未知函数含两个或两个以上自变量，并且方程中出现偏导数，例如 $u=u(x,t)$。

本页只讨论常微分方程，未知函数记为 $y=y(x)$，导数用 $y'$、$y''$、$\dots$、$y^{(n)}$ 表示，其中

$$
y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
$$

导数的定义与记号见[导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)。

### 阶

微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为方程的**阶**。

$$
y'+ky=0
$$

是一阶方程；

$$
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
$$

是二阶方程。

### 解

设 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数。若把 $\varphi$ 代入方程后，等式在 $I$ 上恒成立，则称 $\varphi$ 是方程在 $I$ 上的**解**。解必须在使方程各项都有意义的区间上讨论。

### 通解与特解

$n$ 阶方程的通解是含有 $n$ 个相互独立任意常数的解族：

$$
y=\varphi(x,C_1,C_2,\dots,C_n).
$$

“相互独立”指这些常数不能通过重新组合合并成更少的常数。一阶方程的通解含一个常数 $C$，二阶方程的通解含两个常数 $C_1,C_2$。

不含任意常数的解称为**特解**。特解通常由初始条件从通解中选出。

> [!NOTE]
> 通解是带有 $n$ 个独立常数的解族，但未必包含方程的每一个解。求解过程中如果除以过可能为零的式子，需要单独检查被除掉的常数解。可分离变量方程的处理见[可分离变量的微分方程](/knowledge/maths/differential-equations/separable-differential-equation/)。

### 初始条件与初值问题

用来确定通解中任意常数的条件称为**初始条件**。在 $x=x_0$ 处，一阶方程给一个条件

$$
y\vert_{x=x_0}=y_0,
$$

二阶方程给两个条件

$$
y\vert_{x=x_0}=y_0,\qquad y'\vert_{x=x_0}=y'_0.
$$

一般地，$n$ 阶方程需要 $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处的值。求微分方程满足给定初始条件的解的问题，称为**初值问题**。

## 几何意义

一阶方程

$$
y'=f(x,y)
$$

在平面上每一点 $(x,y)$ 给定一个斜率 $f(x,y)$。以该斜率为方向画出的短线段组成**方向场**；方程的积分曲线在每一点的切线方向都与方向场一致。

通解在几何上是一族积分曲线，特解是其中经过给定初值点 $(x_0,y_0)$ 的那一条。二阶方程的通解含两个常数，对应需要两个条件才能确定的一条曲线。

## 例子

**人口增长的马尔萨斯模型**

设 $P(t)$ 是 $t$ 时刻的人口数，人口增长率与当前人口成正比，比例系数为 $k>0$。增长率就是 $P$ 对 $t$ 的导数，因此

$$
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP.
$$

这是一个一阶常微分方程。当 $P>0$ 时分离变量并积分，得

$$
\ln P=kt+C_1,\qquad P(t)=Ce^{kt},
$$

其中 $C=e^{C_1}>0$。通解是一族指数曲线；若已知 $P(0)=P_0$，则 $C=P_0$，特解为 $P(t)=P_0e^{kt}$。这就是指数增长模型。

**验证 $y=Ce^{x^2}$ 是 $y'=2xy$ 的通解**

对 $y=Ce^{x^2}$ 求导，

$$
y'=Ce^{x^2}\cdot 2x=2xy,
$$

所以每个常数 $C$ 都给出一个解。方程是一阶的，而解中含一个任意常数，因此这是通解。若再要求 $y(0)=3$，代入得 $C=3$，特解为 $y=3e^{x^2}$。

## 探索

交互演示：初始条件怎样选出一个解？。查看同一微分方程的解族与初始值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 微分方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的阶是 \_\_\_\_\_\_（result）。

   答案：2

   方程中出现的最高阶导数是 $y''$，所以是二阶方程。

2. 下列式子中，哪些是微分方程？

   * A.  $y'+2xy=\sin x$
   * B.  $y^2+x^2=1$
   * C.  $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
   * D.  $y'=y$

   答案：A、C、D

   A、D含未知函数的导数，C含未知函数 $u(x,t)$ 的偏导数，都是微分方程。B不含任何导数，只是代数方程。

3. 一阶微分方程的通解含有 \_\_\_\_\_\_（count） 个相互独立的任意常数。

   答案：1

   通解中独立任意常数的个数等于方程的阶数，一阶方程对应一个常数。