# 齐次方程

## 定义

一阶微分方程

$$
y'=f(x,y)
$$

如果存在函数 $\varphi$，使得在 $x\ne 0$ 时

$$
f(x,y)=\varphi\left(\frac{y}{x}\right),
$$

则称它为**齐次方程**。写成 $\varphi\left(\dfrac{x}{y}\right)$ 也可以，因为 $\dfrac{x}{y}=1\big/\dfrac{y}{x}$，两种写法只差对 $\varphi$ 的重新定义。

等价的判定是：$f$ 为零次齐次函数，即对任意 $\lambda\ne 0$，

$$
f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).
$$

实际操作时，检查分子、分母中每一项关于 $x$ 与 $y$ 的总次数是否相同。例如

$$
y'=\frac{x^2+y^2}{xy}
$$

中，分子两项都是二次，分母 $xy$ 也是 $1+1=2$ 次；右端可写成

$$
\frac{x}{y}+\frac{y}{x},
$$

符合齐次方程的形式。

> [!NOTE]
> 这里的“齐次”指右端函数 $f$ 是零次齐次的，与线性方程中的“齐次”含义不同。本页讨论的是齐次微分方程 $y'=f\left(\dfrac yx\right)$。

分子或分母中出现单独常数项时，方程一般不再是齐次方程，需要先尝试下文的平移变换。

## 换元解法

1. **确认形式**

   把方程整理成 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$，并确认讨论区间上 $x\ne 0$。

2. **换元**

   令 $u=\dfrac{y}{x}$，即 $y=ux$。

3. **求导**

   由乘积求导法则，

   $$
   y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
   $$

4. **代入并整理**

   将 $y'$ 与 $\dfrac{y}{x}$ 分别换成上式与 $u$：

   $$
   u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u),
   \qquad
   x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u.
   $$

5. **分离变量并积分**

   当 $\varphi(u)-u\ne 0$ 时，

   $$
   \frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x},
   $$

   两边积分得到关于 $u$ 与 $x$ 的关系。

6. **还原变量**

   把 $u$ 换回 $\dfrac{y}{x}$，整理成显式或隐式解。

换元后的方程关于 $u$ 与 $x$ 可分离，按[可分离变量的微分方程](/knowledge/maths/differential-equations/separable-differential-equation/)的步骤积分即可。

> [!WARNING]
> 当 $\varphi(u_0)-u_0=0$ 时，$u=u_0$ 给出直线解 $y=u_0x$；第5步除以 $\varphi(u)-u$ 会把它排除在外，最后要单独检查。积分完成后也不能忘记把 $u$ 还原为 $\dfrac{y}{x}$。

### 可化为齐次的方程

形如

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}
$$

的方程，在 $c_1,c_2$ 不全为零时，可以通过平移坐标轴消去常数项，化为齐次方程。

先解方程组

$$
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1=0,\\
a_2x+b_2y+c_2=0,
\end{cases}
$$

设交点为 $(h,k)$。令

$$
X=x-h,\qquad Y=y-k,
$$

则 $x=X+h$、$y=Y+k$，代入后常数项抵消，方程变为

$$
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}
=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y},
$$

这是关于 $X,Y$ 的齐次方程。求出解后，再把 $X=x-h$、$Y=y-k$ 代回。

> [!IMPORTANT]
> 平移法要求两条直线 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 与 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 相交，即 $a_1b_2-a_2b_1\ne 0$。若 $a_1b_2-a_2b_1=0$，两直线平行，方程组没有唯一解，平移法不能使用。此时 $a_2x+b_2y$ 与 $a_1x+b_1y$ 只差一个常数倍，令 $z=a_1x+b_1y$ 可把原方程化为关于 $z$ 与 $x$ 的可分离变量方程。

## 例子

**解 $(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0$**

先解出导数：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{x^2+y^2}{xy}
=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.
$$

右端是 $\dfrac{y}{x}$ 的函数，所以方程是齐次的。

**换元。** 令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，且

$$
y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
$$

**代入。** 原方程变为

$$
u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}+u.
$$

两边消去 $u$，得

$$
x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}.
$$

**分离并积分。**

$$
u\,\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x},
\qquad
\frac{1}{2}u^2=\ln\vert x\vert+C_1.
$$

两边乘以 $2$，记 $C=2C_1$，得

$$
u^2=2\ln\vert x\vert+C.
$$

**还原变量。** 把 $u=\dfrac{y}{x}$ 代回：

$$
\left(\frac{y}{x}\right)^2=2\ln\vert x\vert+C,
\qquad
y^2=x^2\left(2\ln\vert x\vert+C\right).
$$

**解 $y'=\dfrac{x+y}{x}$**

右端等于 $1+\dfrac{y}{x}$，所以方程是齐次的。令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y'=u+xu'$。代入得

$$
u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+u,
$$

消去 $u$ 后得到

$$
x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1.
$$

分离变量并积分：

$$
\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x},
\qquad
u=\ln\vert x\vert+C.
$$

还原 $u=\dfrac{y}{x}$，得通解

$$
y=x\left(\ln\vert x\vert+C\right),\qquad x\ne 0.
$$

## 探索

交互演示：代换y = ux后发生什么？。用y′ = y/x展示齐次方程的代换。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 下列方程中，是齐次方程的是：

   * A.  $y'=\dfrac{x+y}{x}$
   * B.  $y'=x+y$
   * C.  $y'=x^2+y^2$
   * D.  $y'=xy$

   答案：A

   $\dfrac{x+y}{x}=1+\dfrac{y}{x}$，右端只依赖 $\dfrac{y}{x}$。其余三个右端都不是零次齐次函数。

2. 初值问题 $y'=\dfrac{x+y}{x}$，$y(1)=2$。其通解可写成 $y=x\left(\ln\vert x\vert+C\right)$，则 $C=$ \_\_\_\_\_\_（constant）。

   答案：2

   代入 $x=1$、$y=2$：$2=1\cdot(0+C)$，所以 $C=2$。

3. 方程 $(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0$ 的通解为 $y^2=x^2\left(2\ln\vert x\vert+C\right)$。若 $y(1)=1$，则 $C=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：1

   代入 $x=1$、$y=1$：$1=1\cdot(0+C)$，所以 $C=1$。