# 可分离变量的微分方程

## 定义与形式

如果一个一阶微分方程可以写成

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)
$$

或者

$$
M_1(x)N_1(y)\,\mathrm{d}x+M_2(x)N_2(y)\,\mathrm{d}y=0,
$$

则称它为**可分离变量的微分方程**。前一种形式中，右端是只含 $x$ 的因子与只含 $y$ 的因子的乘积；后一种形式中，两个系数也各自分解为 $x$ 的因子与 $y$ 的因子之积。两种写法只差整理方式：在 $M_2(x)N_2(y)\ne 0$ 的区间上，第二种形式可以解成第一种，二者都能把含 $y$ 的项和含 $x$ 的项分到等号两边。

本页默认 $f$ 与 $g$ 在讨论的区间上连续，以保证积分存在；求解通常在 $g(y)\ne 0$ 的区间上进行。记号 $y'=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，以及阶、通解与初值问题的含义，见[微分方程的基本概念](/knowledge/maths/differential-equations/differential-equation-basics/)。

## 求解步骤

1. **写成导数形式**

   把 $y'$ 改写成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，并将方程整理成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$。

2. **分离变量**

   在 $g(y)\ne 0$ 的区间上，两边除以 $g(y)$、乘以 $\mathrm{d}x$：

   $$
   \frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x.
   $$

   含 $y$ 的项与 $\mathrm{d}y$ 留在左边，含 $x$ 的项与 $\mathrm{d}x$ 移到右边。

3. **两边积分**

   $$
   \int\frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x.
   $$

   只需在右边写一个任意常数。

4. **整理通解**

   积分得 $G(y)=F(x)+C$。能解出 $y$ 时写显式通解，解不出时可保留隐式通解。

5. **代入初值**

   若给定 $y\vert_{x=x_0}=y_0$，把 $x_0,y_0$ 代入通解求出 $C$，得到特解。

> [!WARNING]
> 第二步除以 $g(y)$ 时默认 $g(y)\ne 0$。若某个 $y_0$ 使 $g(y_0)=0$，常数函数 $y=y_0$ 也可能是方程的解，而它不会出现在分离变量后得到的通解中；最后要单独检查这些解。

> [!TIP]
> 两边积分各产生一个常数，但两个常数之差仍是任意常数，所以习惯只在右边写一个 $C$。整理时也可以把 $C$ 写成 $\ln\vert C\vert$、$e^C$ 等形式，但要同时说明新常数的取值范围。

## 例子

**求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{y}$ 的通解**

分离变量：

$$
y\,\mathrm{d}y=x\,\mathrm{d}x.
$$

两边积分：

$$
\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C_1.
$$

两边乘以 $2$，并记 $C=2C_1$：

$$
y^2-x^2=C.
$$

这是隐式通解，几何上是一族等轴双曲线。原方程要求 $y\ne 0$，所以解取这些双曲线中 $y\ne 0$ 的支。

**解初值问题 $y'=2xy$，$y(0)=1$**

分离变量：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{y}=2x\,\mathrm{d}x.
$$

积分得

$$
\ln\vert y\vert=x^2+C_1,
$$

即 $\vert y\vert=e^{C_1}e^{x^2}$。记 $C=\pm e^{C_1}$，再补上 $C=0$ 给出的零解 $y=0$，通解为

$$
y=Ce^{x^2}.
$$

代入 $x=0$、$y=1$，得 $C=1$，所以特解为

$$
y=e^{x^2}.
$$

**分离变量漏掉的解**

方程 $y'=y^2$ 在 $y\ne 0$ 时可以分离：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{y^2}=\mathrm{d}x
\Longrightarrow
-\frac{1}{y}=x+C
\Longrightarrow
y=-\frac{1}{x+C}.
$$

但 $y=0$ 也满足 $y'=y^2$，它是除以 $y^2$ 时丢掉的解，不能由任何有限常数 $C$ 得到。

## 探索

交互演示：分离变量后的解如何满足方程？。检验带初始条件的指数解。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 下列方程中，可分离变量的是：

   * A.  $y'=x+y$
   * B.  $y'=xy$
   * C.  $y'=x^2+y^2$
   * D.  $y'=\sin(x+y)$

   答案：B

   $y'=xy$ 的右端已经是 $x$ 与 $y$ 的乘积。其余三个右端都不能分解成只含 $x$ 的因子与只含 $y$ 的因子的乘积。

2. 初值问题 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{y}$，$y(0)=3$。其通解可写成 $y^2-x^2=C$，则 $C=$ \_\_\_\_\_\_（constant）。

   答案：9

   把 $x=0$、$y=3$ 代入 $y^2-x^2=C$，得 $C=3^2-0^2=9$。

3. 用分离变量法解 $y'=y^2$ 时，除了通解 $y=-\dfrac{1}{x+C}$，还遗漏了哪个解？

   * A.  $y=0$
   * B.  $y=1$
   * C.  $y=-1$
   * D.  没有遗漏的解

   答案：A

   分离时除以 $y^2$，排除了 $y=0$。直接代入可知 $y=0$ 满足 $y'=y^2$，所以它是被遗漏的常数解。