# 曲线之间的面积

## 定义

由曲线 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）、$x$ 轴及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的曲边梯形，在 $x$ 处取宽 $\mathrm{d}x$ 的窄条，高近似为 $f(x)$，于是

$$
\mathrm{d}A=f(x)\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

若图形由上下两条曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)$）围成，微元的高换成两者之差：

$$
\mathrm{d}A=\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x,\qquad
A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

## 例子

**曲边梯形的面积：$y=x^2$ 与 $x$ 轴，$0\le x\le 1$**

$$
\mathrm{d}A=x^2\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}.
$$

**两曲线之间的面积：$y=x$ 与 $y=x^2$，$0\le x\le 1$**

在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，微元的高是 $x-x^2$，所以

$$
A=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
$$

## 探索

交互演示：两条曲线之间的面积怎样累加？。改变积分上限并计算窄条面积之和。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的图形（$0\le x\le 1$）的面积是：

   * A.  $\dfrac{1}{2}$
   * B.  $\dfrac{1}{3}$
   * C.  $\dfrac{1}{6}$
   * D.  $\dfrac{1}{12}$

   答案：C

   面积微元为 $(x-x^2)\,\mathrm{d}x$，积分为 $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。