# 定积分的对称与周期性

## 性质

### 奇偶性

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续，$a>0$。

* 若 $f$ 是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，则

  $$
  \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=0.
  $$

* 若 $f$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，则

  $$
  \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x.
  $$

两条合起来常记作“偶倍奇零”。

**证明** “偶倍奇零”的来源

在 $[-a,0]$ 上令 $x=-t$，则

$$
\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^0 f(-t)(-\mathrm{d}t)=\int_0^a f(-t)\,\mathrm{d}t,
$$

于是

$$
\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^a\bigl[f(x)+f(-x)\bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

$f$ 为奇函数时括号内为 $0$；为偶函数时括号内为 $2f(x)$，结论成立。

> [!WARNING]
> 反常积分上的“偶倍奇零”只在积分收敛时成立。$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 的被积函数是奇函数，但两个半区间上的积分都发散，原积分发散，不能写 $0$（除非另行定义柯西主值）。

### 周期性

设 $f$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意实数 $a$，

$$
\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

也就是说，长度为一个周期的区间上的积分值与起点无关。把 $[a,a+T]$ 拆成 $[a,0]$、$[0,T]$、$[T,a+T]$ 三段，对最后一段作平移 $x=t+T$，它与第一段正好相消。

## 例子

**偶倍奇零：$\displaystyle\int_{-1}^1(x^3+x^2)\,\mathrm{d}x$**

$x^3$ 是奇函数，在 $[-1,1]$ 上的积分为 $0$；$x^2$ 是偶函数，所以

$$
\int_{-1}^1(x^3+x^2)\,\mathrm{d}x
=0+2\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x
=\frac{2}{3}.
$$

## 探索

交互演示：对称区间上的积分如何简化？。对照奇函数和偶函数的积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 下列各式中，值一定为 $0$ 的有哪些？

   * A.  $\displaystyle\int_{-1}^1x^3\,\mathrm{d}x$
   * B.  $\displaystyle\int_{-1}^1x^2\,\mathrm{d}x$
   * C.  $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$
   * D.  $\displaystyle\int_{-1}^1\sin^3x\,\mathrm{d}x$

   答案：A、D

   A、D的被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，积分为 $0$。B的被积函数是偶函数，值为 $\frac{2}{3}$。C的两个半区间上的积分都发散，整个积分发散，不能按奇函数写成 $0$。