# 定积分的概念与性质

## 定义

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。在 $[a,b]$ 内插入分点

$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,
$$

把区间分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。在每个小区间上任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作**积分和**

$$
S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$$

再记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$。若当 $\lambda\to 0$ 时 $S$ 的极限存在，并且这个极限与区间的分法、点 $\xi_i$ 的取法都无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上**可积**，并把该极限称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的**定积分**：

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$$

其中 $a$ 是积分下限，$b$ 是积分上限，$f(x)$ 是被积函数，$x$ 是积分变量。

定义的过程可以概括为四步：分割、近似（用 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 代替第 $i$ 个小曲边梯形的面积）、求和、取极限。定积分是一个数，只由被积函数和积分区间决定，与积分变量用什么字母无关：

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u.
$$

定义默认 $a<b$。为了书写方便，再规定 $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$ 以及

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

也就是说，交换上下限时积分值变号。下面涉及不等式的性质都以 $a<b$ 为前提。

### 几何意义

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 等于由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上变号，定积分等于 $x$ 轴上方的面积减去下方的面积，即各部分面积的代数和；此时它不再等于几何面积。

## 可积的条件

判断可积常用下面两条充分条件。

1. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。
2. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

第二条覆盖了分段函数：分段点只有有限个、每段连续、整体有界，就可以直接积分。这里“有限个间断点”不能丢；仅凭有界不足以保证可积。

## 性质

以下性质都假设涉及的定积分存在。

### 线性性质

设 $\alpha$、$\beta$ 为常数，则

$$
\int_a^b\bigl[\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x
=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.
$$

### 区间可加性

设 $a<c<b$，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

这条性质把积分区间拆成两段，是分段函数积分和变上限函数讨论的基础。

### 常数函数的积分

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\equiv 1$，则

$$
\int_a^b 1\,\mathrm{d}x=\int_a^b \mathrm{d}x=b-a.
$$

### 保号性与比较

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，且 $a<b$，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge 0.
$$

由此得到两条推论。

* **推论1（比较）**：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，且 $a<b$，则
  $$
  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.
  $$
* **推论2（绝对值不等式）**：若 $a<b$，则
  $$
  \left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\le\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x.
  $$

### 估值定理

设 $M$ 与 $m$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值与最小值，且 $a<b$，则

$$
m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a).
$$

### 积分中值定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $a<b$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).
$$

这个等式称为**积分中值公式**。量

$$
\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
$$

称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的**平均值**；中值定理说明连续函数一定能取到自己的平均值。

## 证明

由估值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值 $m$ 与最大值 $M$ 满足

$$
m\le\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M.
$$

记 $\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$。因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由连续函数的介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\mu$。两边乘以 $b-a$，即得

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).
$$

## 例子

**用定义计算 $\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$**

把 $[0,1]$ 分成 $n$ 等份，$\Delta x_i=\dfrac{1}{n}$，取右端点 $\xi_i=\dfrac{i}{n}$，则积分和

$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i
=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}
=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}
=\frac{n+1}{2n}.
$$

此时 $\lambda=\dfrac{1}{n}\to 0$，于是

$$
\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.
$$

**用几何意义计算 $\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x$**

直线 $y=x$ 在 $[-1,0]$ 上位于 $x$ 轴下方，在 $[0,1]$ 上位于 $x$ 轴上方，两块三角形的面积相等而符号相反。取面积的代数和，得

$$
\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x=0.
$$

**用估值定理估计 $\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x$**

在 $[0,1]$ 上，$f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ 单调递减，最小值为 $f(1)=\dfrac{1}{2}$，最大值为 $f(0)=1$。由估值定理，

$$
\frac{1}{2}\le\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x\le 1.
$$

（实际值为 $\ln 2\approx 0.693$，落在区间内。）

## 使用注意

> [!WARNING]
> **区间方向**
>
> 保号、比较与估值都写有 $a<b$。上限小于下限时先交换上下限并变号，不等号方向也会跟着反转，不能把公式原样搬过去。

> [!NOTE]
> **中值定理的端点**
>
> 积分中值定理的 $\xi$ 常见 $\xi\in(a,b)$ 与 $\xi\in[a,b]$ 两种写法。用估值定理加介值定理证明时得到的是闭区间；若改用变上限函数与拉格朗日中值定理，可以把结论加强为开区间，做法见 [微积分基本公式](/knowledge/maths/integrals/fundamental-theorem-of-calculus/)。

## 练习

1. $\int_{-1}^{2}\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：3

   被积函数恒为 $1$，由常数函数的积分，$\int_{-1}^{2}\mathrm{d}x=2-(-1)=3$。

2. 已知 $\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}$，则 $\int_0^1 4x\,\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（four-value）。

   答案：2

   由线性性质，$\int_0^1 4x\,\mathrm{d}x=4\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=4\cdot\dfrac{1}{2}=2$。

3. 下列条件中，能保证 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的是

   * A.  $f$ 在 $[a,b]$ 上连续
   * B.  $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点
   * C.  $f$ 在 $[a,b]$ 上无界
   * D.  $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，但有无穷多个间断点

   答案：A、B

   前两条就是判断可积的充分条件。无界函数不可积；有界但有无穷多个间断点时，可能可积也可能不可积，不能作为保证。

4. 设 $a<b$，且对一切 $x\in[a,b]$ 有 $f(x)\ge 0$。下列说法一定正确的是

   * A.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge 0$
   * B.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x>0$
   * C.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=0$
   * D.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le 0$

   答案：A

   保号性只给出非负。取 $f(x)\equiv 0$ 时积分为 $0$，所以严格大于零不成立；若 $f$ 连续且不恒为零，才一定有 $\int_a^b f>0$。

5. 设 $1\le f(x)\le 3$ 在 $[1,4]$ 上成立，则 $\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ 的取值范围是

   * A.  $[3,12]$
   * B.  $[1,3]$
   * C.  $[4,7]$
   * D.  $[1,12]$

   答案：A

   由估值定理，$1\cdot(4-1)\le\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x\le 3\cdot(4-1)$，即积分落在 $[3,12]$ 内。

6. 对 $f(x)=x$ 在 $[0,2]$ 上使用积分中值定理，公式中的 $\xi=$ \_\_\_\_\_\_（xi）。

   答案：1

   由几何意义，$\int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$。令 $f(\xi)(2-0)=2$，得 $2\xi=2$，所以 $\xi=1$。

## 交互探索

交互演示：矩形怎样逼近面积？。改变矩形个数，观察右端点和怎样逼近曲线下的面积。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> 观察什么
>
> 增加矩形个数，比较右端点和与 $\frac{1}{3}$ 的差。矩形越窄，差越小；取极限就是定积分。