# 积分上限函数的导数

## 定义

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。对 $[a,b]$ 上的每一点 $x$，定积分 $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 都存在，于是可以定义一个以 $x$ 为自变量的函数

$$
\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\qquad a\le x\le b.
$$

$\Phi$ 称为**变上限的定积分**，也叫**积分上限函数**。这里 $x$ 出现在积分上限，被积函数的变量改用 $t$，以免与上限混淆；$t$ 是哑变量，换成别的字母不影响 $\Phi(x)$。

若在区间 $I$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个**原函数**。原函数不唯一：把一个原函数加上任意常数，仍然是原函数；反过来，区间 $I$ 上 $f$ 的任意两个原函数只相差一个常数。

## 性质

**定理（原函数存在定理）** 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导（端点处指相应的单侧导数），且

$$
\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x).
$$

因此，连续函数 $f$ 的积分上限函数 $\Phi$ 就是 $f$ 的一个原函数。这条结论同时说明：在闭区间上连续的函数一定有原函数。

**证明**

设 $x\in(a,b)$，$\Delta x\ne 0$ 且 $x+\Delta x\in[a,b]$。由积分对区间的可加性，

$$
\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)
=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t.
$$

以 $\Delta x>0$ 为例（$\Delta x<0$ 时先交换上下限，结论相同）。在区间 $[x,x+\Delta x]$ 上对 $f$ 用积分中值定理（见 [定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/)），存在 $\xi\in[x,x+\Delta x]$，使

$$
\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\xi)\Delta x.
$$

于是 $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(\xi)$。当 $\Delta x\to 0$ 时 $\xi\to x$，由 $f$ 在 $x$ 处连续得 $f(\xi)\to f(x)$，故 $\Phi'(x)=f(x)$。端点 $x=a$、$x=b$ 处用同样的推理讨论单侧导数，结论相同。

### 上下限都是函数时的导数

设 $f$ 连续，$\phi$、$\psi$ 可导，且 $\phi(x)$、$\psi(x)$ 都落在 $f$ 的连续区间内，记

$$
F(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,
$$

则

$$
F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t
=f[\psi(x)]\psi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x).
$$

这条公式称为**莱布尼茨公式**。它的来源是把积分拆成两个积分上限函数之差：

$$
\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t
=\int_a^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{\phi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,
$$

再对两项分别用微积分基本定理，并对外层用[复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)求导。

## 例子

**求 $\Phi(x)=\int_0^x\sin t\,\mathrm{d}t$ 的导数**

由微积分基本定理，直接去掉积分号并把 $t$ 换成上限 $x$：

$$
\Phi'(x)=\sin x.
$$

**上限是函数：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^{x^2}\cos t\,\mathrm{d}t$**

上限 $\psi(x)=x^2$，外层被积函数在 $\psi(x)$ 处的值为 $\cos(x^2)$，再乘上限的导数 $2x$：

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^{x^2}\cos t\,\mathrm{d}t=\cos(x^2)\cdot 2x.
$$

**上下限都是函数：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t$**

上限项带正号，下限项带负号：

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t
=e^{x^2}\cdot 2x-e^{x}\cdot 1
=2xe^{x^2}-e^{x}.
$$

## 探索

交互演示：变上限积分的变化率是什么？。比较积分上限函数与被积函数在上限处的值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $\Phi(x)=\int_0^x t^2\,\mathrm{d}t$，则 $\Phi'(2)=$ \_\_\_\_\_\_（derivative-value）。

   答案：4

   由微积分基本定理，$\Phi'(x)=x^2$，代入 $x=2$ 得 $4$。

2. 设 $F(x)=\int_0^{x^2}t\,\mathrm{d}t$，则 $F'(1)=$ \_\_\_\_\_\_（composite-value）。

   答案：2

   上限为 $x^2$，由莱布尼茨公式，$F'(x)=x^2\cdot 2x=2x^3$，代入 $x=1$ 得 $2$。

3. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$。关于 $\Phi$，下列说法正确的是

   * A.  $\Phi$ 是 $f$ 的导数
   * B.  $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数
   * C.  $\Phi$ 是 $f$ 的不定积分
   * D.  $\Phi$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值

   答案：B

   微积分基本定理给出 $\Phi'(x)=f(x)$，所以 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数。不定积分指全体原函数，是函数族，与单个 $\Phi$ 不同。

4. 设 $f$ 连续，且对一切 $x$ 有 $\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t=x^2$，则 $f(x)=$

   * A.  $2x$
   * B.  $x^2$
   * C.  $\dfrac{x^3}{3}$
   * D.  $2$

   答案：A

   对等式两边求导，左边由微积分基本定理得 $f(x)$，右边得 $2x$，所以 $f(x)=2x$。