# $\Gamma$ 函数

## 定义

对 $s>0$，定义

$$
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
$$

它把阶乘推广到实数。

主要性质：

1. 递推公式 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$；
2. 阶乘关系 $\Gamma(n+1)=n!$，$n$ 为非负整数；
3. 特殊值 $\Gamma(1)=1$，$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$。

**证明** 递推公式

取 $u=x^{s}$，$\mathrm{d}v=e^{-x}\,\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=sx^{s-1}\,\mathrm{d}x$，$v=-e^{-x}$。于是

$$
\Gamma(s+1)=\Bigl[-x^se^{-x}\Bigr]_0^{+\infty}
+s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
$$

$x\to+\infty$ 时 $x^se^{-x}\to 0$；$x\to 0^+$ 时，因为 $s>0$，也有 $x^se^{-x}\to 0$。所以边界项为 $0$，即 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$。

> [!NOTE]
> 定义中的 $s>0$ 不能省。$x\to 0^+$ 时 $x^{s-1}e^{-x}$ 与 $x^{s-1}$ 同阶，只有 $s>0$ 时瑕点 $x=0$ 处的积分才收敛；$x\to+\infty$ 时 $e^{-x}$ 的衰减比任何幂都快，那一端对一切 $s$ 都收敛。

## 例子

**用Γ函数：$\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x$**

被积函数就是 $x^{2-1}e^{-x}$，所以积分等于 $\Gamma(2)=1!=1$。

## 探索

交互演示：\$\Gamma\$ 函数如何连接阶乘？。查看递推公式在非负整数上的结果。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$ 等于：

   * A.  $\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}$
   * B.  $\dfrac{15\sqrt{\pi}}{8}$
   * C.  $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
   * D.  $\dfrac{3\sqrt{\pi}}{2}$

   答案：A

   由递推公式，$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$。