# 反常积分

[定积分](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/)要求积分区间有限、被积函数有界。把这两个条件之一去掉，积分就要用极限重新定义，这类积分统称**反常积分**，也称广义积分。本页先分别定义两类反常积分，再给出判断敛散时最常用的p-积分与比较判别法，并以 $\Gamma$ 函数作为后续应用。

## 定义

### 无穷限的反常积分

设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，取 $t>a$。若极限 $\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的反常积分，记作

$$
\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x,
$$

此时称积分**收敛**；若极限不存在，则称积分**发散**。

类似地：

* 在 $(-\infty,b]$ 上，$\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$。
* 在 $(-\infty,+\infty)$ 上，任取 $c$，
  $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$；右端两个积分都收敛时，原积分才收敛。

> [!IMPORTANT]
> $(-\infty,+\infty)$ 上的积分不能把两个极限合并成一个对称极限来算。$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 按定义发散，而 $\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}x\,\mathrm{d}x=0$ 只是柯西主值，不属于这里定义的反常积分。

若 $f(x)\ge 0$，$\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛表示曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$ 与 $x$ 轴围成的无界区域面积有限。这是反常积分与定积分共享的几何意义。

### 无界函数的反常积分

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，在 $a$ 的右侧邻域内无界，称 $a$ 为 $f$ 的**瑕点**。取 $t\in(a,b)$，若极限 $\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的反常积分，也称**瑕积分**，记作

$$
\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

类似地：

* 瑕点在上限 $b$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$。
* 瑕点在内部 $c\in(a,b)$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x$，两个积分都收敛时原积分才收敛。

> [!WARNING]
> 一个积分可以同时有无穷限和瑕点，例如 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(1+x)}$。这时必须先把它拆成若干段，使每段只含一个“问题端点”，再逐段判断。

## 性质

### 两类p-积分

| 类型                  | 积分                                                     | 收敛      | 发散       | 收敛时的值            |
| :------------------ | :----------------------------------------------------- | :------ | :------- | :--------------- |
| 无穷限                 | $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ | $p>1$   | $p\le 1$ | $\dfrac{1}{p-1}$ |
| 瑕积分（瑕点 $x=0$，$p>0$） | $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$         | $0<p<1$ | $p\ge 1$ | $\dfrac{1}{1-p}$ |

> [!NOTE]
> 瑕积分一行以 $p>0$ 为前提。$p\le 0$ 时 $x^{-p}$ 在 $(0,1]$ 上有界，$x=0$ 不是瑕点，$\int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 是通常的定积分。

**证明** 两类p-积分的计算

先看无穷限。当 $p\ne 1$，

$$
\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.
$$

$p>1$ 时 $1-p<0$，$A^{1-p}\to 0$，极限为 $\frac{1}{p-1}$；$p<1$ 时 $A^{1-p}\to+\infty$，积分发散。$p=1$ 时 $\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln A\to+\infty$，同样发散。

再看瑕积分。当 $p\ne 1$，

$$
\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}.
$$

$0<p<1$ 时 $1-p>0$，$\varepsilon^{1-p}\to 0$，极限为 $\frac{1}{1-p}$；$p>1$ 时 $1-p<0$，$\varepsilon^{1-p}\to+\infty$，积分发散。$p=1$ 时 $\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=-\ln\varepsilon\to+\infty$。

> [!TIP]
> **两类p-积分的收敛范围相反**
>
> 无穷限的 $\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 在 $p>1$ 时收敛：分母次数越高，尾部衰减越快。以 $x=0$ 为瑕点的 $\int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 在 $p<1$ 时收敛：分母次数越低，瑕点附近增长越慢。可以记成“无穷限大1收敛，瑕积分小1收敛”，套用前先确认是哪一类。

### 比较判别法

设在 $[a,+\infty)$ 上 $0\le f(x)\le g(x)$，且两个函数都连续。

* 若 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛（大收则小收）。
* 若 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散（小发则大发）。

极限形式：设 $f(x)\ge 0$，$g(x)>0$，且

$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda.
$$

* 若 $0<\lambda<+\infty$，则两个积分同敛散。
* 若 $\lambda=0$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛。
* 若 $\lambda=+\infty$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散。

常用比较对象是 $g(x)=\frac{1}{x^p}$；瑕点 $x=a$ 附近改用 $g(x)=\frac{1}{(x-a)^p}$，并把极限过程换成 $x\to a^+$，其余结论相同。判断时先估计 $f$ 在问题端点附近的主部，再挑 $p$ 使比较对象的敛散已知。

> [!WARNING]
> 比较判别法要求 $f$ 与 $g$ 非负。被积函数变号时不能把它直接与 $g$ 比较；另外，判别法只回答敛散，不给出积分值。

## 例子

**无穷限：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$**

$p=2>1$，收敛，值为 $\frac{1}{2-1}=1$。

**瑕积分：$\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}$**

$x=0$ 是瑕点，$p=\frac{1}{2}<1$，收敛，值为 $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$。

**比较判别：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}$**

在 $[1,+\infty)$ 上 $\frac{1}{x^2+1}<\frac{1}{x^2}$，而 $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$ 收敛，所以原积分收敛。这里只判断敛散；它的值是 $\frac{\pi}{4}$。

## 探索

交互演示：两类p积分的收敛条件为何相反？。比较无穷远端和零点附近的截断积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：2

   这是 $p=\frac{3}{2}>1$ 的无穷限p-积分，值为 $\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=2$。

2. $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{2/3}}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：3

   $x=0$ 是瑕点，$p=\frac{2}{3}<1$，积分收敛，值为 $\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$。

3. 关于 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$，下列说法正确的是：

   * A.  收敛，值为 $0$
   * B.  发散，因为两个半区间上的积分都发散
   * C.  收敛，值为 $+\infty$
   * D.  必须先算柯西主值才能判断

   答案：B

   $\int_0^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 与 $\int_{-\infty}^0x\,\mathrm{d}x$ 都发散，所以原积分发散。奇偶性不能越过收敛性直接使用。

4. 关于比较判别法，下列叙述正确的有哪些？

   * A.  若 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛
   * B.  若 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛
   * C.  若 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散
   * D.  对变号的被积函数，可以直接用 $0\le f(x)\le g(x)$ 比较

   答案：A、C

   比较判别法只把已知敛散的积分传给比较对象：大的收敛推出小的收敛，小的发散推出大的发散。反向不成立，变号时也不能直接使用。