# 基本积分公式

## 记号与约定

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。若 $F'(x)=f(x)$ 对 $I$ 内每一点成立，则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个**原函数**。$f$ 的全体原函数记作

$$
\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C,
$$

其中 $C$ 是任意常数，称为**积分常数**。这个记号表示一个函数族：给 $F$ 加上不同的常数，得到的仍然是 $f$ 的原函数；反过来，同一区间上的任意两个原函数只相差一个常数。

积分号中的 $\mathrm{d}x$ 与积分号配对，说明对哪个变量积分，不是与 $f(x)$ 相乘的因子。换用其它字母作积分变量时公式形式不变，例如 $\int f(t)\,\mathrm{d}t=F(t)+C$。

### 常数与适用区间

* 每个公式只在被积函数有定义的区间上成立。区间不能跨越被积函数的间断点；例如 $\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C$ 分别在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上成立，两段上的常数可以取不同的值。
* 写不定积分的结果时不能漏掉 $C$。需要确定某一个具体的原函数时，再用附加条件定出 $C$。
* 对结果求导可以检验公式：若右边求导后等于被积函数，公式在该区间上就成立。

> [!TIP]
> 基本积分表是求导公式的反向记录。记不清某条公式时，把右边的结果求导，看是否回到被积函数。

## 公式

以下默认 $C$ 为任意常数，$\alpha$ 为实数，$a$ 与 $k$ 为常数。个别公式对 $a$ 的范围有额外要求时写在条件栏。每一条公式都在被积函数有定义的任意区间上成立。

### 基础函数

这些公式是微分运算的逆运算，是积分计算的核心。

| 积分                               | 结果                                 | 条件                                   |
| :------------------------------- | :--------------------------------- | :----------------------------------- |
| $\int 0\,\mathrm{d}x$            | $C$                                | —                                    |
| $\int k\,\mathrm{d}x$            | $kx+C$                             | $k$ 为常数                              |
| $\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}x$   | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ | $\alpha\ne-1$；在 $x^{\alpha}$ 有定义的区间上 |
| $\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ | $\ln\lvert x\rvert+C$              | $x\ne 0$                             |
| $\int a^{x}\,\mathrm{d}x$        | $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$           | $a>0$，$a\ne 1$                       |
| $\int e^{x}\,\mathrm{d}x$        | $e^{x}+C$                          | —                                    |

### 三角函数

| 积分                               | 结果          | 条件            |
| :------------------------------- | :---------- | :------------ |
| $\int \cos x\,\mathrm{d}x$       | $\sin x+C$  | —             |
| $\int \sin x\,\mathrm{d}x$       | $-\cos x+C$ | —             |
| $\int \sec^{2}x\,\mathrm{d}x$    | $\tan x+C$  | $\cos x\ne 0$ |
| $\int \csc^{2}x\,\mathrm{d}x$    | $-\cot x+C$ | $\sin x\ne 0$ |
| $\int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x$ | $\sec x+C$  | $\cos x\ne 0$ |
| $\int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x$ | $-\csc x+C$ | $\sin x\ne 0$ |

### 常用扩展

这些公式在涉及分式和三角函数时非常常用。

| 积分                         | 结果                               | 条件            |
| :------------------------- | :------------------------------- | :------------ |
| $\int \tan x\,\mathrm{d}x$ | $-\ln\lvert\cos x\rvert+C$       | $\cos x\ne 0$ |
| $\int \cot x\,\mathrm{d}x$ | $\ln\lvert\sin x\rvert+C$        | $\sin x\ne 0$ |
| $\int \sec x\,\mathrm{d}x$ | $\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$ | $\cos x\ne 0$ |
| $\int \csc x\,\mathrm{d}x$ | $\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C$ | $\sin x\ne 0$ |

### 反三角与复杂根式

这些积分的结果通常用于有理分式和根式代换后的计算。

| 积分                                                   | 结果                                                          | 条件                          |
| :--------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------- | :-------------------------- |
| $\int \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x$           | $\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$                         | $a\ne 0$                    |
| $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$    | $\arcsin\dfrac{x}{a}+C$                                     | $a>0$，$\lvert x\rvert<a$    |
| $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\,\mathrm{d}x$ | $\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+C$      | $a\ne 0$，$x^{2}\pm a^{2}>0$ |
| $\int \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\,\mathrm{d}x$           | $\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert+C$ | $a\ne 0$，$x\ne\pm a$        |

第三行的两个根式要分别看待：取 $x^{2}+a^{2}$ 时对任意 $x$ 都有定义；取 $x^{2}-a^{2}$ 时要求 $\lvert x\rvert>\lvert a\rvert$。

### 特殊积分

这些公式通常由分部积分法或三角代换得到，建议连同条件一起记住结果。

| 积分                                        | 结果                                                                                                         | 条件                          |
| :---------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------------- |
| $\int \ln x\,\mathrm{d}x$                 | $x\ln x-x+C$                                                                                               | $x>0$                       |
| $\int \arctan x\,\mathrm{d}x$             | $x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C$                                                                    | —                           |
| $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\mathrm{d}x$    | $\dfrac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\dfrac{a^{2}}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$                                     | $a>0$，$\lvert x\rvert\le a$ |
| $\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\,\mathrm{d}x$ | $\dfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm\dfrac{a^{2}}{2}\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+C$ | $a\ne 0$，$x^{2}\pm a^{2}>0$ |

## 例子

**逐项使用公式表求 $\int\left(3x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{d}x$**

被积函数是两项之和，先逐项积分：

$$
\int 3x^{2}\,\mathrm{d}x=x^{3}+C_{1},\qquad
\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C_{2}.
$$

合并时把两个任意常数写成一个，

$$
\int\left(3x^{2}+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=x^{3}+\ln\lvert x\rvert+C.
$$

结果在 $x>0$ 与 $x<0$ 两个区间上分别成立。

## 练习

1. $\int x^{4}\,\mathrm{d}x$ 的结果是：

   * A.  $\dfrac{x^{5}}{5}+C$
   * B.  $x^{5}+C$
   * C.  $5x^{3}+C$
   * D.  $\dfrac{x^{5}}{5}$

   答案：A

   幂函数公式给出 $\int x^{4}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+C=\dfrac{x^{5}}{5}+C$。

2. $\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 的结果是：

   * A.  $\ln x+C$
   * B.  $\ln\lvert x\rvert+C$
   * C.  $-\dfrac{1}{x^{2}}+C$
   * D.  $\dfrac{1}{x^{2}}+C$

   答案：B

   被积函数在 $x>0$ 与 $x<0$ 上都有定义，所以结果要写 $\ln\lvert x\rvert+C$；只写 $\ln x$ 会漏掉负半轴。