# 定积分的元素法

## 定义

设量 $Q$ 分布在区间 $[a,b]$ 上，并且对区间**可加**：把 $[a,b]$ 分成若干小段，各段对应的量之和等于 $Q$。在 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 上，若 $Q$ 的增量 $\Delta Q$ 可近似写成

$$
\Delta Q\approx\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x,
$$

其中 $\mathrm{d}Q$ 与 $\Delta Q$ 的误差在分段细化时受到一致控制，例如误差为一致的 $o(\mathrm{d}x)$，则称 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 为量 $Q$ 的**积分微元**（简称微元），并且

$$
Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

“可加性”保证各段能累加成积分，“线性主部”与对余项的一致控制保证分段累加后的总误差趋于零。两个条件缺一不可。

## 性质

1. **建立坐标系**

   按问题的几何特征选自变量（$x$ 或 $y$），确定积分区间 $[a,b]$。

2. **取微元**

   在区间内任取小区间 $[x,x+\mathrm{d}x]$，写出对应增量 $\Delta Q$ 的近似式 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$。$\mathrm{d}Q$ 必须是 $\mathrm{d}x$ 的线性函数，$\mathrm{d}x$ 的高阶无穷小一律略去。

3. **列积分式**

   把微元在 $[a,b]$ 上累加，写成 $Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$。

4. **计算积分**

   用[牛顿–莱布尼茨公式](/knowledge/maths/integrals/newton-leibniz/)求出定积分的值。

> [!IMPORTANT]
> 元素法的关键是写出正确的 $\mathrm{d}Q$。写完后先检查两件事：$\mathrm{d}Q$ 与 $\Delta Q$ 是否只差 $\mathrm{d}x$ 的高阶无穷小；$Q$ 是否真的等于各段微元之和。有一条不满足，后面的积分就没有意义。

## 探索

交互演示：小段的贡献怎样累加成积分？。用中点矩形和近似曲边面积。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于微元与元素法，下列说法正确的是：

   * A.  $\mathrm{d}Q$ 与小区间上的增量 $\Delta Q$ 只相差 $\mathrm{d}x$ 的高阶无穷小
   * B.  元素法要求量 $Q$ 对区间不可加
   * C.  微元可以保留 $\mathrm{d}x$ 的高次项，不影响积分值
   * D.  只要被积函数连续，任何量都能写成定积分

   答案：A

   微元是增量的线性主部，误差必须是 $\mathrm{d}x$ 的高阶无穷小。元素法还要求量对区间可加；被积函数连续只保证定积分存在，不能保证量本身能写成积分。