# 分部积分法

## 公式

设 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都在区间 $I$ 上可导。由乘积的求导法则

$$
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
$$

移项并在两边求不定积分，得到**分部积分公式**

$$
\int u(x)\,\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,\mathrm{d}u(x),
$$

写成展开形式为

$$
\int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x
=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.
$$

公式把积分 $\int u\,\mathrm{d}v$ 换成了积分 $\int v\,\mathrm{d}u$，所以它并不直接算出结果，而是把问题转成另一个积分。只有当新的积分更容易求时，这个替换才有意义——这正是选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 时要争取的效果。

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### 使用条件

公式要求 $u$、$v$ 可导，且右端的 $\int v\,\mathrm{d}u$ 存在。求 $v$ 时任取 $\mathrm{d}v$ 的一个原函数即可：不同的原函数只差一个常数，这个常数只会改变最终结果中的常数项，不影响积分能否求出。

## 推导

对乘积 $u(x)v(x)$ 用乘积求导法则：

$$
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
$$

把 $u(x)v'(x)$ 留在一边，其余项移到另一边：

$$
u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x).
$$

两边对 $x$ 积分。左边是 $u(x)v'(x)$ 的原函数，右边第一项是 $u(x)v(x)$，第二项则写成 $-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$：

$$
\int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x
=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.
$$

写成微分形式就是 $\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$。推导只用到了乘积求导法则和积分的线性性质，没有对 $u$、$v$ 的形状作额外要求。

## 选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

1. **$u$ 求导后更简单。** 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
2. **$\mathrm{d}v$ 容易积分。** 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

### 口诀“反对幂三指”

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$。

| 顺序 | 类型    | 典型函数                    | 处理                 |
| :- | :---- | :---------------------- | :----------------- |
| 反  | 反三角函数 | $\arctan x$，$\arcsin x$ | 取作 $u$             |
| 对  | 对数函数  | $\ln x$                 | 取作 $u$             |
| 幂  | 幂函数   | $x^n$，$\dfrac{1}{x^n}$  | 通常取作 $u$           |
| 三  | 三角函数  | $\sin x$，$\cos x$       | 通常取作 $\mathrm{d}v$ |
| 指  | 指数函数  | $e^{ax}$，$a^x$          | 取作 $\mathrm{d}v$   |

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$；$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$、$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$。

> [!TIP]
> 单独出现的 $\ln x$ 或 $\arctan x$ 也可以分部积分：把它看成 $\ln x\cdot 1$ 或 $\arctan x\cdot 1$，取 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，于是 $v=x$。

### 三类常见形态

* **对数或反三角乘幂函数**：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
* **幂函数乘指数或三角函数**：每分部一次幂函数的次数降低一次，$x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
* **指数函数乘三角函数**：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

> [!WARNING]
> 循环型两次分部必须坚持同一类函数作 $u$。第一次取三角函数，第二次仍取三角函数；两次都取指数函数也可以。中途换类会把原积分原样搬回来，得不到关于 $I$ 的方程。

### 定积分的分部积分

设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

$$
\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,\mathrm{d}x,
$$

简写为

$$
\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u.
$$

1. **选取 $u$ 与 $\mathrm{d}v$**

   把被积表达式看成两类函数的乘积。优先选择求导后会简化的因子作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 作为 $\mathrm{d}v$；口诀只能作为选取的提示。

2. **求 $v$ 与 $\mathrm{d}u$**

   对 $\mathrm{d}v$ 积分得 $v$，对 $u$ 求导得 $\mathrm{d}u$。$v$ 只取一个原函数，不加任意常数。

3. **代入公式**

   先算边界项 $[uv]_a^b$，再处理 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$。边界项必须在这一步就代入上下限，不能留到最后。

> [!WARNING]
> 反常积分应先在有限区间分部积分，再分别检查边界项与余下积分的极限。

## 例子

**$\int x\ln x\,\mathrm{d}x$**

“对”优先于“幂”，取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$。于是

$$
\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad v=\frac{1}{2}x^2.
$$

代入公式：

$$
\begin{aligned}
\int x\ln x\,\mathrm{d}x
&=\frac{1}{2}x^2\ln x-\int \frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C.
\end{aligned}
$$

**$\int \arctan x\,\mathrm{d}x$**

$\arctan x$ 单独出现，按 $\arctan x\cdot 1$ 处理，取 $u=\arctan x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$。于是

$$
\mathrm{d}u=\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x,\qquad v=x,
$$

$$
\int \arctan x\,\mathrm{d}x
=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x.
$$

剩下的积分用凑微分：$\dfrac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}\ln(1+x^2)$，所以

$$
\int \arctan x\,\mathrm{d}x
=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C.
$$

**$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$**

“幂”优先于“指”，取 $u=x^2$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$，则 $v=e^x$，$\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$：

$$
\int x^2e^x\,\mathrm{d}x=x^2e^x-2\int xe^x\,\mathrm{d}x.
$$

右端的 $\int xe^x\,\mathrm{d}x$ 再分部一次，取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$：

$$
\int xe^x\,\mathrm{d}x=xe^x-\int e^x\,\mathrm{d}x=(x-1)e^x.
$$

代回：

$$
\int x^2e^x\,\mathrm{d}x
=x^2e^x-2(x-1)e^x+C
=e^x(x^2-2x+2)+C.
$$

幂函数的次数每分部一次降低一次，$x^2$ 因此需要两次。

**$I=\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$**

两次都取三角函数作 $u$。第一次取 $u=\sin x$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$：

$$
I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x.
$$

对右端的积分再分部，仍取三角函数作 $u$，即 $u=\cos x$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$：

$$
\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x
=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\,\mathrm{d}x
=e^x\cos x+I.
$$

代回原式，右端重新出现了 $I$：

$$
I=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+I\right).
$$

移项解方程：

$$
2I=e^x(\sin x-\cos x),\qquad
I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C.
$$

**分部积分：$\displaystyle\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x$**

取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=e^x$，所以

$$
\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x
=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x
=e-(e-1)=1.
$$

## 探索

交互演示：定积分分部时边界项从哪里来？。比较边界项和余下的积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\int xe^x\,\mathrm{d}x$ 等于：

   * A.  $(x-1)e^x+C$
   * B.  $(x+1)e^x+C$
   * C.  $xe^x+C$
   * D.  $\frac{1}{2}x^2e^x+C$

   答案：A

   取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$，则 $v=e^x$，$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$。于是 $\int xe^x\,\mathrm{d}x=xe^x-\int e^x\,\mathrm{d}x=(x-1)e^x+C$。

2. $\int\ln x\,\mathrm{d}x$ 等于：

   * A.  $x\ln x-x+C$
   * B.  $x\ln x+x+C$
   * C.  $\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$
   * D.  $x\ln x-\frac{1}{2}x^2+C$

   答案：A

   把 $\ln x$ 看成 $\ln x\cdot 1$，取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，得 $\int\ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-\int 1\,\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$。

3. $\int\arctan x\,\mathrm{d}x$ 等于：

   * A.  $x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$
   * B.  $x\arctan x+\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$
   * C.  $\frac{1}{2}(\arctan x)^2+C$
   * D.  $x\arctan x-\ln(1+x^2)+C$

   答案：A

   取 $u=\arctan x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，则 $v=x$，$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$。剩下的 $\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$。

4. $\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：1

   由 $(x-1)e^x$ 是 $xe^x$ 的一个原函数，代入上下限：$(1-1)e^1-(0-1)e^0=0+1=1$。