# 换元积分法

## 原理

不定积分的基本公式只覆盖少数形式。以下用 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ 表示 $f$ 的全体原函数，$C$ 为任意常数；基本积分表见[基本积分公式](/knowledge/maths/integrals/integral-formulas/)。换元积分法（也称变量代换法）是求不定积分的主要方法之一，它通过引入新的积分变量，把复杂的被积表达式化成基本积分表中的形式。两种换元的方向不同，依据都是复合函数求导的[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)。

### 第一类换元法

设 $F'(u)=f(u)$，且 $u=\varphi(x)$ 在讨论的区间上可导。则

$$
\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=F(\varphi(x))+C.
$$

这里要求 $f$ 在 $\varphi$ 的取值范围内有原函数。公式的关键是把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，再对 $u=\varphi(x)$ 使用基本积分表。

**证明**

由链式法则，

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\varphi(x))
=F'(\varphi(x))\varphi'(x)
=f(\varphi(x))\varphi'(x).
$$

所以 $F(\varphi(x))$ 是 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 的一个原函数，右端加上任意常数即得全体原函数。

#### 第二类换元法

设 $x=\psi(t)$ 在区间上单调、可导，且 $\psi'(t)\ne 0$。则

$$
\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\psi(t))\psi'(t)\,\mathrm{d}t.
$$

右端求出关于 $t$ 的原函数 $G(t)+C$ 后，必须用反函数代回：由 $x=\psi(t)$ 解出 $t=\psi^{-1}(x)$，得到

$$
\int f(x)\,\mathrm{d}x=G(\psi^{-1}(x))+C.
$$

单调性保证反函数存在，$\psi'(t)\ne 0$ 使反函数在对应点可导。答案不能留在 $t$ 上。

## 性质

### 第一类换元法

第一类换元法是复合函数求导法则的逆应用，适用于被积函数已经呈现为 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 的形式，或只差一个常数因子的情形。操作时把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，再整体换成 $u$。

1. **找出内层函数**

   观察被积函数能否写成 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$，确定 $\varphi(x)$。

2. **凑出微分**

   把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}\varphi(x)$。如果只差常数因子，在积分号外补上相应的倒数。

3. **对 $u$ 积分**

   令 $u=\varphi(x)$，用基本积分表求 $\int f(u)\,\mathrm{d}u$。

4. **代回并加常数**

   把 $u$ 换回 $\varphi(x)$，并加上积分常数 $C$。

### 常见凑微分

| 被积表达式中的因子                                | 凑成的微分                             |
| :--------------------------------------- | :-------------------------------- |
| $\mathrm{d}x$                            | $\mathrm{d}x$                     |
| $k\,\mathrm{d}x$                         | $\mathrm{d}(kx)$                  |
| $x\,\mathrm{d}x$                         | $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}(x^{2})$ |
| $\sin x\,\mathrm{d}x$                    | $-\mathrm{d}(\cos x)$             |
| $\cos x\,\mathrm{d}x$                    | $\mathrm{d}(\sin x)$              |
| $\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$              | $\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)$   |
| $e^{x}\,\mathrm{d}x$                     | $\mathrm{d}(e^{x})$               |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$ | $\mathrm{d}(\arcsin x)$           |
| $\dfrac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x$        | $\mathrm{d}(\arctan x)$           |

> [!TIP]
> 把因子放进 $\mathrm{d}$ 内，相当于对它求原函数；把因子从 $\mathrm{d}$ 内取出，相当于对它求导。$\mathrm{d}$ 内加减常数不影响微分；乘以常数时，要在积分号外补上它的倒数。

### 第二类换元法

第二类换元法主动设置 $x=\psi(t)$，把难积的 $x$ 表达式换成较简单的 $t$ 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 $t$ 的原函数后，必须回代成 $x$。

1. **选择代换**

   根据根式或三角函数的形式确定 $x=\psi(t)$，并取使根式化简后符号确定的 $t$ 范围。

2. **换掉微分**

   由 $x=\psi(t)$ 求出 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t$，把被积函数中的 $x$ 和 $\mathrm{d}x$ 同时换掉。

3. **对 $t$ 积分**

   用基本积分表或其它方法求出关于 $t$ 的原函数。

4. **回代并检验**

   用 $t=\psi^{-1}(x)$ 把结果换回 $x$，加上常数 $C$；必要时对结果求导检验。

### 三角代换

三角代换用于消除二次根式。下表默认 $a>0$，$t$ 的范围取得使根式化简后不需要再加绝对值。

| 根式类型                 | 换元公式        | $t$ 的范围                                                             | 化简结果                         |
| :------------------- | :---------- | :------------------------------------------------------------------ | :--------------------------- |
| $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ | $x=a\sin t$ | $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$                       | $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$ |
| $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ | $x=a\tan t$ | $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$                       | $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec t$ |
| $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ | $x=a\sec t$ | $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ | $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan t$ |

> [!WARNING]
> 开根号得到的是绝对值。例如 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}=a\lvert\cos t\rvert$，只有在 $t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时才能去掉绝对值写成 $a\cos t$。代换前先确定 $t$ 的范围，再化简根式。

### 根式代换

被积函数含有 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $u=\sqrt[n]{ax+b}$，则 $u^{n}=ax+b$，从而

$$
x=\frac{u^{n}-b}{a},\qquad
\mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.
$$

于是

$$
\int f\left(\sqrt[n]{ax+b}\right)\mathrm{d}x
=\int f(u)\cdot\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.
$$

这里 $n$ 为正整数，$a\ne 0$，且根式要在实数的范围内有定义。

### 万能代换

被积函数是 $\sin x$、$\cos x$ 的有理式时，可令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$。在 $x\ne(2k+1)\pi$ 的区间上，

$$
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad
\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad
\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t.
$$

这样 $\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x$ 就化为关于 $t$ 的有理函数的积分。万能代换的计算量通常较大，只在其它方法不便使用时才选。

### 定积分换元

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，变换 $x=\varphi(t)$ 满足

1. $\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$；
2. $\varphi$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上具有连续导数，且值域包含在 $[a,b]$ 内，

则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.
$$

条件不要求 $\alpha<\beta$：当 $\alpha>\beta$ 时，右端按从 $\alpha$ 到 $\beta$ 的方向积分，交换上下限会使符号改变。

> [!IMPORTANT]
> **换元必换限**
>
> 引入新变量 $t$ 后，上下限必须同时换成 $t$ 的范围 $\alpha,\beta$。这是定积分换元与不定积分换元最大的区别。

> [!TIP]
> **无需回代**
>
> 算出关于 $t$ 的积分后，直接代入 $t$ 的上下限即可，不必像不定积分那样把结果回代成 $x$ 的函数。

> [!WARNING]
> 反常积分换元时，要先写出截断积分，处理新上下限的极限，并核对变换条件与积分方向。

不定积分中常用的凑微分与三角代换也可用于定积分，但换元时要同时换限。

## 例子

**线性替换：$\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x$**

当 $\varphi(x)=ax+b$ 时，$\mathrm{d}(ax+b)=a\,\mathrm{d}x$，所以 $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\,\mathrm{d}(ax+b)$。取 $a=3$、$b=2$：

$$
\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x
=\frac{1}{3}\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}(3x+2)
=\frac{1}{3}\sin(3x+2)+C.
$$

也可以写成显式换元：令 $u=3x+2$，则 $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u$，

$$
\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x
=\frac{1}{3}\int\cos u\,\mathrm{d}u
=\frac{1}{3}\sin u+C
=\frac{1}{3}\sin(3x+2)+C.
$$

**三角代换：$\int\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$**

根式为 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 型，其中 $a=2$。

1. **换元**：令 $x=2\sin t$，取 $t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\mathrm{d}x=2\cos t\,\mathrm{d}t$。

2. **替换**：

   $$
   \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}t}=\sqrt{4\cos^{2}t}=2\lvert\cos t\rvert=2\cos t,
   $$

   最后一步用了 $t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时 $\cos t>0$。

3. **积分**：

   $$
   \int\frac{2\cos t}{2\cos t}\,\mathrm{d}t=\int 1\,\mathrm{d}t=t+C.
   $$

4. **代回**：由 $x=2\sin t$ 得 $t=\arcsin\dfrac{x}{2}$，所以

   $$
   \int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{2}+C.
   $$

**换元并换限：$\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x$（$a>0$）**

令 $x=a\sin t$，$t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，则 $\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t$，且 $t=0$ 对应 $x=0$，$t=\frac{\pi}{2}$ 对应 $x=a$。于是

$$
\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x
=\int_0^{\frac{\pi}{2}}a\cos t\cdot a\cos t\,\mathrm{d}t
=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\,\mathrm{d}t
=\frac{\pi a^2}{4}.
$$

最后一步用了 $I_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$。全程不需要把 $t$ 回代成 $x$。

## 探索

交互演示：定积分换元后上下限怎样变化？。以u = x² 为例比较新旧积分限。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x$ 的结果是：

   * A.  $\dfrac{1}{3}\sin(3x+2)+C$
   * B.  $\sin(3x+2)+C$
   * C.  $3\sin(3x+2)+C$
   * D.  $-\dfrac{1}{3}\sin(3x+2)+C$

   答案：A

   令 $u=3x+2$，则 $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u$，积分为 $\dfrac{1}{3}\int\cos u\,\mathrm{d}u=\dfrac{1}{3}\sin u+C$。

2. $\int x e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x$ 的结果是：

   * A.  $\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C$
   * B.  $e^{x^{2}}+C$
   * C.  $2xe^{x^{2}}+C$
   * D.  $x^{2}e^{x^{2}}+C$

   答案：A

   令 $u=x^{2}$，则 $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$，所以 $x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u$，积分为 $\dfrac{1}{2}\int e^{u}\,\mathrm{d}u=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C$。

3. 求 $\int\sqrt{9-x^{2}}\,\mathrm{d}x$ 时，下列代换中能直接消除根式的是：

   * A.  $x=3\sin t$
   * B.  $x=3\tan t$
   * C.  $x=3\sec t$
   * D.  $u=9-x^{2}$

   答案：A

   根式为 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 型，$a=3$，应令 $x=3\sin t$，此时 $\sqrt{9-x^{2}}=3\cos t$，根式被消除。$x=3\tan t$ 和 $x=3\sec t$ 分别对应 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 与 $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ 型。