# 牛顿–莱布尼茨公式

## 定义

**定理** 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).
$$

这个公式称为**牛顿-莱布尼茨公式**，也称为**微积分基本公式**。

**证明**

令 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$。由微积分基本定理，$\Phi'(x)=f(x)$，所以 $\Phi$ 也是 $f$ 的原函数。于是

$$
\bigl(F(x)-\Phi(x)\bigr)'=f(x)-f(x)=0.
$$

由拉格朗日中值定理的推论，导数恒为零的函数为常数，设 $F(x)-\Phi(x)=C$。令 $x=a$，注意 $\Phi(a)=0$，得 $C=F(a)$。因此

$$
\Phi(x)=F(x)-F(a).
$$

取 $x=b$，即得 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。

### 记号

通常把 $F(b)-F(a)$ 记作 $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$ 或 $F(x)\big|_a^b$，于是

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).
$$

方括号与竖线含义相同：先代入上限，再减去代入下限的结果。

### 意义

牛顿-莱布尼茨公式把定积分与不定积分联系起来。定积分本来是由积分和的极限定义的，直接用定义计算需要分割、求和再取极限；公式说明它只取决于原函数在两个端点处的值之差。于是求定积分归结为求原函数，而求原函数的方法（[基本积分公式](/knowledge/maths/integrals/integral-formulas/)、[换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/)、[分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)等）可以直接借用。

### 计算步骤

1. **求一个原函数**

   求出 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$。这里只需一个原函数，不必写常数 $C$。

2. **代入上下限**

   计算 $F(b)-F(a)$，即上限处的值减去下限处的值。

## 性质

### 使用注意

> [!WARNING]
> **公式的前提**
>
> 公式要求 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。被积函数在区间内有瑕点时不能直接代原函数求值：例如 $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$ 若取 $F(x)=-\frac{1}{x}$，会算出 $-2$，但这个积分其实发散。含瑕点或无穷限的积分要按反常积分处理。

## 例子

**用牛顿-莱布尼茨公式计算 $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$**

取原函数 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$，则

$$
\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x
=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1
=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.
$$

## 探索

交互演示：原函数的端点值如何给出定积分？。调整积分上下限并比较原函数的差值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（integral-value）。

   答案：1

   取原函数 $F(x)=x^2$，则 $\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=\bigl[x^2\bigr]_0^1=1-0=1$。

2. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的一个原函数。下列说法正确的是

   * A.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
   * B.  $\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)$
   * C.  $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(a)-F(b)$
   * D.  公式中的 $F$ 必须取加上常数 $C$ 的原函数，否则结果不对

   答案：A、B

   代入顺序是上限减下限，所以C错；任意一个原函数代入后常数都会抵消，D错。