# 有理函数的积分

## 定义

由两个多项式之比给出的函数

$$
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
$$

称为**有理函数**，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是实系数多项式，$Q(x)$ 不恒为零。$R$ 的定义域是使 $Q(x)\ne 0$ 的一切 $x$。

按分子与分母的次数分为两类：

* **真分式**：$\deg P<\deg Q$，分子的次数严格小于分母的次数；
* **假分式**：$\deg P\ge\deg Q$，分子的次数大于或等于分母的次数。

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有理函数在定义区间内连续，它的原函数总能由三类函数拼成：多项式、对数函数与反正切函数。求有理函数积分的全部工作，就是把 $R$ 化成这三类函数的组合，再逐项积分。

## 三步法

求解有理函数积分有固定的流程，三步按顺序做，不要跳步。

1. **假分式先降次**

   当 $\deg P\ge\deg Q$ 时，用多项式长除法把 $R$ 拆成商式与真分式之和：

   $$
   \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R_0(x)}{Q(x)},\qquad \deg R_0<\deg Q.
   $$

   其中 $S(x)$ 是多项式，直接逐项积分；后面只需处理真分式 $\dfrac{R_0(x)}{Q(x)}$。

2. **分母在实数范围内彻底分解**

   把 $Q(x)$ 写成一次因式 $(x-a)^k$ 与不可约二次因式 $(x^2+px+q)^m$ 的乘积。不可约指数判别式 $p^2-4q<0$，这样的二次因式在实数范围内不能再分解。

3. **拆成最简部分分式**

   按分母因式的形状写出带待定系数的和，再用待定系数法确定系数。

> [!WARNING]
> 假分式不先降次就套用拆分规则，会漏掉商式 $S(x)$ 对应的整个多项式项，结果必然错误。

### 拆分形式

分母中的每个因式都要按它的幂次展开成若干项：

| 分母中的因式         | 对应的部分分式                                                             |
| :------------- | :------------------------------------------------------------------ |
| $(x-a)^k$      | $\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}$ |
| $(x^2+px+q)^m$ | $\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\dfrac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^m}$  |

重因式必须从一次幂一直写到 $k$ 次幂，一项都不能少。二次因式的分子要写成一次式 $Bx+C$，不能只写常数。

### 待定系数法

把拆分式通分、去掉分母，得到一个关于 $x$ 的恒等式，再确定其中的系数。常用三种做法：

1. **比较系数法**：按 $x$ 的同次幂系数相等列出方程组。
2. **取值法**：代入分母的实根，使含其他因式的项为零，直接解出对应系数。
3. **混合法**：先用取值法求出容易确定的系数，再用比较系数法解剩下的。

> [!TIP]
> 分母有重根时，取值法一次只能定出最高次幂那一项的系数，例如 $(x-a)^3$ 只能直接得到 $A_3$；其余系数仍要用比较系数法或代入其他便于计算的值。

### 最简部分分式的积分

拆分完成后，每一项都是下面几种形式之一。

#### 多项式项

$\int S(x)\,\mathrm{d}x$ 逐项使用幂函数积分公式。

#### 一次因式项

$k=1$ 时，

$$
\int\frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x=A\ln|x-a|+C.
$$

$k>1$ 时用凑微分，

$$
\int\frac{A}{(x-a)^k}\,\mathrm{d}x
=A\int (x-a)^{-k}\,\mathrm{d}(x-a)
=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C.
$$

### 二次因式项

对 $\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$，先配方：令 $b=\dfrac{p}{2}$，$c^2=q-b^2>0$，$u=x+b$，则分母为 $u^2+c^2$。再把分子拆成与分母导数成比例的部分和常数部分：

$$
Ax+B=\frac{A}{2}\cdot 2u+(B-Ab),
$$

于是

$$
\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x
=\frac{A}{2}\ln(u^2+c^2)+\frac{B-Ab}{c}\arctan\frac{u}{c}+C.
$$

第一项来自 $\dfrac{2u\,\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\mathrm{d}\ln(u^2+c^2)$，第二项来自 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\dfrac{1}{c}\arctan\dfrac{u}{c}$。

### 二次因式的高次幂

$m\ge 2$ 时仍按同样的方式拆分子：

* 微分项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}w}{w^m}$（$w=u^2+c^2$），用幂函数公式即可；
* 常数项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{(u^2+c^2)^m}$，用三角代换 $u=c\tan t$ 或递推公式求解。

## 例子

**拆分 $\dfrac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}$**

分母已是一个一次因式与一个不可约二次因式的乘积（$x^2+x+1$ 的判别式为 $1-4=-3<0$），所以设

$$
\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}
=\frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.
$$

通分去分母：

$$
x+2=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(2x+1).
$$

**求 $A$（取值法）**：令 $2x+1=0$，即 $x=-\dfrac{1}{2}$，代入得

$$
-\frac{1}{2}+2=A\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\right),
\qquad
\frac{3}{2}=A\cdot\frac{3}{4},
$$

所以 $A=2$。

**求 $B$、$C$（比较系数法）**：展开右边，

$$
x+2=(A+2B)x^2+(A+B+2C)x+(A+C).
$$

比较 $x^2$ 项系数得 $A+2B=0$，即 $B=-1$；比较常数项得 $A+C=2$，即 $C=0$。代回中间项检验：$A+B+2C=2-1+0=1$，与左边的 $x$ 项系数一致。

最终

$$
\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}
=\frac{2}{2x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}.
$$

**把拆分结果积分**

继续上面的结果。第一项

$$
\int\frac{2}{2x+1}\,\mathrm{d}x=\ln|2x+1|+C.
$$

第二项是二次因式项，这里 $A=1$、$B=0$、$b=\dfrac{1}{2}$、$c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，于是 $B-Ab=-\dfrac{1}{2}$：

$$
\int\frac{x}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x
=\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)
-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C.
$$

所以

$$
\int\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}\,\mathrm{d}x
=\ln|2x+1|-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)
+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C.
$$

## 探索

交互演示：拆成部分分式后怎样积分？。对照原分式及拆出的两项。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 下列有理函数中，属于假分式的是：

   * A.  $\dfrac{x+1}{x^2+1}$
   * B.  $\dfrac{x^3+1}{x^2+1}$
   * C.  $\dfrac{1}{x^2-1}$
   * D.  $\dfrac{x}{x^2+x+1}$

   答案：B

   假分式要求分子的次数不小于分母的次数。只有 $\dfrac{x^3+1}{x^2+1}$ 的分子是三次、分母是二次。

2. $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ 的部分分式形式是：

   * A.  $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$
   * B.  $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x+2}$
   * C.  $\dfrac{A}{(x-1)(x+2)}$
   * D.  $\dfrac{A}{(x-1)^2}+\dfrac{B}{(x+2)^2}$

   答案：A

   分母是两个互不相同的一次因式，每个一次因式各对应一个常数分子的部分分式。

3. 分母中含有因式 $(x-1)^3$ 时，它对应的部分分式共有 \_\_\_\_\_\_（count） 项。

   答案：3

   重因式要从一次幂写到三次幂：$\dfrac{A_1}{x-1}+\dfrac{A_2}{(x-1)^2}+\dfrac{A_3}{(x-1)^3}$。

4. 在 $\dfrac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}$ 中，$A=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：2

   通分去分母后令 $x=-\dfrac{1}{2}$，得 $\dfrac{3}{2}=A\cdot\dfrac{3}{4}$，所以 $A=2$。

5. $\int\dfrac{3}{x-2}\,\mathrm{d}x$ 等于：

   * A.  $3\ln|x-2|+C$
   * B.  $3\ln(x-2)+C$
   * C.  $\dfrac{3}{(x-2)^2}+C$
   * D.  $3\ln|x-2|$

   答案：A

   $\int\dfrac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x=A\ln|x-a|+C$。定义域可能落在 $x<2$ 一侧，所以要加绝对值；不定积分还要补 $+C$。