# 旋转体的体积

## 定义

由 $y=f(x)$、$x$ 轴及 $x=a$、$x=b$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转，在 $x$ 处截出厚 $\mathrm{d}x$ 的薄圆盘，底面半径为 $|f(x)|$，于是

$$
\mathrm{d}V=\pi f^2(x)\,\mathrm{d}x,\qquad
V=\pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm{d}x.
$$

## 例子

**旋转体体积：$y=\sqrt{x}$ 绕 $x$ 轴，$0\le x\le 1$**

$$
V=\pi\int_0^1(\sqrt{x})^2\,\mathrm{d}x=\pi\int_0^1x\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}.
$$

## 探索

交互演示：圆盘截面如何累加成体积？。计算平方根曲线绕x轴旋转的体积。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $y=x^2$（$0\le x\le 1$）与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积是：

   * A.  $\dfrac{\pi}{5}$
   * B.  $\dfrac{\pi}{4}$
   * C.  $\dfrac{\pi}{3}$
   * D.  $\dfrac{\pi}{2}$

   答案：A

   体积微元为 $\pi(x^2)^2\,\mathrm{d}x=\pi x^4\,\mathrm{d}x$，积分为 $\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{5}$。