# 华里斯公式

## 定义

记

$$
I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,\mathrm{d}x,\qquad n=0,1,2,\dots
$$

两个积分相等，因为作代换 $x=\frac{\pi}{2}-t$ 后 $\sin^n x$ 与 $\cos^n t$ 互换。

对 $n\ge 2$，

$$
I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2},\qquad I_0=\frac{\pi}{2},\quad I_1=1.
$$

反复使用递推，得到

$$
I_n=
\begin{cases}
\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数},\\[6pt]
\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot 1, & n \text{ 为奇数}.
\end{cases}
$$

用双阶乘写就是 $I_{2m}=\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$，$I_{2m+1}=\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$。

**证明** 递推公式的推导

对 $n\ge 2$，把 $\sin^n x$ 写成 $\sin^{n-1}x\cdot\sin x$，取 $u=\sin^{n-1}x$，$\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$，则 $v=-\cos x$。于是

$$
\begin{aligned}
I_n
&=\bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}
 +(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,\mathrm{d}x\\
&=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^2x)\,\mathrm{d}x\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n).
\end{aligned}
$$

边界项在两端都为 $0$，移项得 $nI_n=(n-1)I_{n-2}$。

## 例子

**华里斯公式：$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\,\mathrm{d}x$**

$n=4$ 为偶数，按公式

$$
I_4=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.
$$

## 探索

交互演示：华里斯递推如何计算正弦幂的积分？。调整幂次，查看递推得到的积分值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5x\,\mathrm{d}x$ 的值为：

   * A.  $\dfrac{8}{35}$
   * B.  $\dfrac{4}{5}$
   * C.  $\dfrac{8}{15}$
   * D.  $\dfrac{3\pi}{16}$

   答案：C

   $n=5$ 为奇数，$I_5=\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1=\frac{8}{15}$。