# 函数在一点的连续性

## 定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若

$$
\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0),
$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处**连续**。

这个等式同时要求三件事：$f(x_0)$ 有定义，$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，并且极限值等于函数值。三者缺一不可。

记 $\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则连续性也等价于

$$
\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0.
$$

也就是说，自变量的微小变化只会引起函数值的微小变化。

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### 区间上的连续性

若 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续。

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，且满足

1. $f$ 在 $(a,b)$ 内连续；
2. $\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$（在左端点右连续）；
3. $\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)$（在右端点左连续），

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。端点处只要求单侧连续，是因为函数在区间外可能没有定义。

## 性质

### 连续函数的运算

若 $f$ 与 $g$ 都在 $x_0$ 处连续，则 $f\pm g$、$fg$ 以及 $f/g$（要求 $g(x_0)\ne 0$）都在 $x_0$ 处连续；连续函数的复合在对应点也连续。

因此初等函数在其定义区间内连续，求这类函数的极限时可以直接代入。

### 可导必连续

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

**证明**

由导数定义，

$$
f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$

存在。于是

$$
\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y
=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \Delta x
=f'(x_0)\cdot 0=0,
$$

即 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

反过来不成立：连续只保证函数值贴近极限值，不保证差商的极限存在。例子见下节。

## 例子

**用定义验证 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处连续**

$f(1)=1$，且

$$
\lim_{x \to 1}x^2=1=f(1),
$$

所以 $f$ 在 $x=1$ 处连续。

**$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导**

连续性由 $\lim_{x \to 0}|x|=0=|0|$ 得到。

可导性要看左右导数：

$$
\lim_{x \to 0^-}\frac{|x|-0}{x-0}=-1,\qquad
\lim_{x \to 0^+}\frac{|x|-0}{x-0}=1.
$$

左右导数不相等，所以 $f$ 在 $x=0$ 处不可导。几何上，图像在原点出现尖点，切线不存在。

## 练习

1. 对于函数 $f(x)=|x|$，分别检查函数值与连续性。

   1. $f(0)=$ \_\_\_\_\_\_（result）。

      答案：0

      将 $x=0$ 代入，得到 $|0|=0$。

   2. 函数在 $x=0$ 处是否连续？

      * A.  连续
      * B.  不连续

      答案：A

      左右极限与函数值都为 $0$，符合连续性的定义。这里的连续性不能推出可导性。

   3. 关于函数在 $x=0$ 处的性质，哪些叙述正确？

      * A.  函数连续
      * B.  函数可导
      * C.  极限存在
      * D.  函数值不存在

      答案：A、C

      极限与函数值均为 $0$，所以连续；左右导数分别为 $-1$ 和 $1$，所以不可导。

## 交互探索

交互演示：极限存在，函数就连续吗？。拖动函数在零点的取值，比较它与左右极限；曲线在零点附近保持不变。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> **观察什么**
>
> 改变点上的函数值不会改变邻近点趋近时的极限。连续性要求这两个量相等。