# 间断点及其分类

## 定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的**间断点**。

判断间断点只看两条：$\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$ 是否都存在。按这一点，间断点分为两类。

| 类别     | 条件          | 细分                               | 典型例子                              |
| :----- | :---------- | :------------------------------- | :-------------------------------- |
| 第一类间断点 | 左右极限都存在     | 左右极限相等但不等于函数值（或函数值不存在）：**可去间断点** | $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处     |
|        |             | 左右极限不相等：**跳跃间断点**                | $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处 |
| 第二类间断点 | 至少一个单侧极限不存在 | 至少一个单侧极限为 $\pm\infty$：**无穷间断点**  | $\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处        |
|        |             | 极限不存在且不趋于无穷：**振荡间断点**            | $\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处      |

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可去间断点是最容易误判的一类：极限存在，但函数值不存在，或者函数值与极限不相等。补上或改掉这一点函数值，就能把间断点变成连续点，这也是“可去”一名的来源。

## 性质

### 分段函数在分段点处的判定

1. 计算 $f(x_0)$，确认函数在该点是否有定义。
2. 分别计算左极限 $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ 与右极限 $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$。
3. 比较三者：左右极限相等且等于 $f(x_0)$ 时连续；否则按上表分类。

对于分段函数，分段点两侧的表达式不同，左右极限必须分别用对应的一侧表达式计算。

### 常见形式的快速判断

* 分式 $\dfrac{g(x)}{h(x)}$ 在 $h(x_0)=0$ 处：若 $\lim_{x \to x_0}g(x)\ne 0$，则 $x_0$ 是无穷间断点。
* $\sin\dfrac{1}{x}$、$\cos\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处通常为振荡间断点；但 $x\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处极限为 $0$，是可去间断点。
* $\dfrac{0}{0}$ 型且函数值未定义的点，先约分再求极限。例如 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处极限为 $2$，但 $f(1)$ 不存在，所以是可去间断点。

> [!WARNING]
> “极限存在”不等于“连续”。可去间断点处极限存在，但函数值缺失或与极限不相等，仍然不连续。

## 例子

**$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处**

$f(0)$ 无定义，但

$$
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
$$

左右极限相等，所以 $x=0$ 是可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 后，函数在 $x=0$ 处连续。

**$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处**

$$
\lim_{x \to 0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1,\qquad
\lim_{x \to 0^+}\operatorname{sgn}(x)=1.
$$

左右极限都存在但不相等，所以 $x=0$ 是跳跃间断点。

**$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处**

当 $x \to 0$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 在无穷远处振荡，$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间反复取值，极限不存在，也不趋于无穷。因此 $x=0$ 是振荡间断点。

## 探索

交互演示：左右极限如何区分间断点？。对照可去、跳跃与无穷间断点。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 判断下列函数在指定点处的间断点类型。

   1. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处属于哪一类？

      * A.  可去间断点
      * B.  跳跃间断点
      * C.  无穷间断点
      * D.  振荡间断点

      答案：A

      约分后 $\lim_{x \to 1}(x+1)=2$，但 $f(1)$ 无定义，所以是可去间断点。

   2. $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处属于哪一类？

      * A.  可去间断点
      * B.  跳跃间断点
      * C.  无穷间断点
      * D.  振荡间断点

      答案：C

      左右极限都为 $+\infty$，所以是无穷间断点。