# 等价无穷小 ## 定义 设当 $x\to x_0$ 时 $\alpha(x)\to 0$、$\beta(x)\to 0$。若 $$ \lim_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1, $$ 则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的**等价无穷小**，记作 $\alpha(x)\sim\beta(x)$。 等价无穷小要求两者都是无穷小，并且比值的极限为 $1$：它们同阶，主部相同。等价关系总是相对于某个趋近方式而言，$x\to 0$、$x\to 1$、$x\to\infty$ 下的等价关系不能混用。 最常用的趋近方式是 $x\to 0$，下面两张表都默认 $x\to 0$。若极限过程是 $x\to x_0$ 或 $x\to\infty$，先换元把新变量化到 $0$，再查表。 ## 性质 ### 基本等价 这组关系是极限计算的基础，需要熟练记忆。它们都可以由泰勒展开取最低阶非零项得到。 | 类别 | 等价关系（$x\to 0$） | 说明 | | ------ | ----------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- | | 幂函数类 | $x\sim\sin x\sim\tan x$ | 三角函数与自变量等价，是最常用的替换（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=2$） | | 指数函数类 | $e^x-1\sim x$ | 核心是“指数减1”的形式；底数不是 $e$ 时可变形为 $a^x-1\sim x\ln a$（$a>0$，$a\ne 1$） | | 对数函数类 | $\ln(1+x)\sim x$ | 核心是“$\ln(1+\text{自变量})$”的形式；可逆用 $x\sim\ln(1+x)$（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=\dfrac{1}{3}$） | | 幂函数类 | $(1+x)^a-1\sim ax$ | 广义二项式等价，$a$ 为任意实数，如 $\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac{1}{2}x$，$\dfrac{1}{1+x}-1\sim -x$ | | 三角函数类 | $1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$ | 余弦的“1减余弦”形式，等价于二次项；因为 $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$，余项 $o(x^2)$ 可忽略 | | 反三角函数类 | $\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$ | 反三角函数与自变量等价，本质是原函数与反函数在原点附近的线性近似一致（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\arctan 5x}{x}=5$） | ### 扩展等价 这组关系由泰勒展开取更高阶项，或由基本等价关系组合得到；当分子分母都是高阶无穷小时使用，余项 $o(x^n)$ 可忽略。 | 函数类型 | 等价关系（$x\to 0$） | 泰勒展开依据 | | ------- | ------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------- | | 指数函数扩展 | $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$ | $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$ | | 指数函数扩展 | $e^x-1-x-\dfrac{1}{2}x^2\sim\dfrac{1}{6}x^3$ | $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$ | | 对数函数扩展 | $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2$ | $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$ | | 对数函数扩展 | $x-\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x^2\sim-\dfrac{1}{3}x^3$ | 同上，取到三阶项 | | 三角函数扩展 | $\sin x-x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$ | $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$ | | 三角函数扩展 | $\tan x-x\sim\dfrac{1}{3}x^3$ | $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)$ | | 三角函数扩展 | $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$ | 由 $\tan x-\sin x=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$，代入基本等价无穷小推导 | | 反三角函数扩展 | $x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$ | $\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5)$ | | 反三角函数扩展 | $x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$ | $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$ | | 双曲函数类 | $\sinh x\sim x$，$\cosh x-1\sim\dfrac{1}{2}x^2$ | $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$，泰勒展开后比较 | ### 替换原则 等价无穷小不能随意替换：替换只保证主部不变，被丢掉的低阶项在加减法中可能正是主部。 ### 乘积与商可以替换 若 $\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，则 $$ \alpha\beta\sim\alpha'\beta',\qquad \frac{\alpha}{\beta}\sim\frac{\alpha'}{\beta'}. $$ 后者要求 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在或为 $\infty$。 **证明** 由等价关系的定义， $$ \frac{\alpha\beta}{\alpha'\beta'} =\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta}{\beta'}\to 1, $$ 所以 $\alpha\beta\sim\alpha'\beta'$。同理 $$ \frac{\alpha/\beta}{\alpha'/\beta'} =\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta'}{\beta}\to 1. $$ ### 和差不能直接逐项替换 若 $\alpha\sim\beta$，即两者的比值趋于 $1$，则 $\alpha-\beta$ 是比它们更高阶的无穷小。把 $\alpha$、$\beta$ 各自替换成等价量，会把这个差直接变成 $0$，丢掉真正的主部。 例如 $\tan x\sim x$、$\sin x\sim x$，但 $$ \lim_{x \to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} =\frac{1}{2}\ne 0. $$ 若把两者都替换成 $x$，会错误地得到 $0$。正确做法是使用扩展等价 $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$，或直接用泰勒展开。 > [!WARNING] > 失效的条件是两个被减项彼此等价。若 $\alpha$ 与 $\beta$ 的比值趋于异于 $1$ 的常数，$\alpha-\beta$ 与 $\alpha'-\beta'$ 仍然等价；判断和差能否替换，要看两项是否同阶且主部相同。 ### 复合函数的替换 若 $t\to 0$ 时 $f(t)\sim g(t)$，且 $x\to x_0$ 时 $u(x)\to 0$，则 $$ f(u(x))\sim g(u(x)). $$ 因为 $\dfrac{f(u(x))}{g(u(x))}$ 就是 $\dfrac{f(t)}{g(t)}$ 在 $t=u(x)$ 处的取值，极限仍为 $1$。 ### 精度匹配 若分子分母都是 $n$ 阶无穷小，替换后的等价无穷小至少要保留到 $n$ 阶，否则会丢掉决定极限值的项。例如在 $\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 中，只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$，无法判断；应使用二阶等价 $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。 ### 与泰勒展开的关系 等价无穷小是泰勒展开的最低阶截断：$f(x)$ 等价于其展开式的第一个非零项。因此当替换失效，尤其是和差或需要高阶精度时，直接展开到与分母同阶即可，这是更通用的做法。 > [!CAUTION] > **先确认趋近方式** > > 所有等价关系都绑定在特定的趋近方式上。$x\to\infty$ 时应先令 $t=\dfrac{1}{x}$，把极限化为 $t\to 0$；$x\to 1$ 时不能直接套用 $x\to 0$ 的表，例如 $\ln x$ 应令 $u=x-1$，用 $\ln(1+u)\sim u$。 ## 例子 **复合替换：$\lim_{x \to 1}\dfrac{\sin(x-1)}{\ln x}$** 令 $u=x-1$，$x\to 1$ 时 $u\to 0$，且 $\ln x=\ln(1+u)\sim u$。于是 $$ \lim_{x \to 1}\frac{\sin(x-1)}{\ln x} =\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=1. $$ **变趋近方式：$\lim_{x \to \infty}x\sin\dfrac{1}{x}$** 令 $t=\dfrac{1}{x}$，$x\to\infty$ 时 $t\to 0^+$，且 $\sin t\sim t$。于是 $$ \lim_{x \to \infty}x\sin\frac{1}{x} =\lim_{t \to 0^+}\frac{\sin t}{t}=1. $$ **精度匹配：$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$** 分母是二阶无穷小，一阶等价 $e^x-1\sim x$ 不够用。取二阶等价 $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$，得 $$ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}. $$ ## 探索 交互演示：等价替换为什么要小心和差？。比较sin x与x的比值及差的高阶行为。 请在站点操作演示。 ## 练习 1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=$ \_\_\_\_\_\_（sin-two-value）。 答案：2 用 $\sin 2x\sim 2x$，或用第一个重要极限：$\dfrac{\sin 2x}{x}=2\cdot\dfrac{\sin 2x}{2x}\to 2$。 2. 若 $\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=\dfrac{1}{k}$，则 $k=$ \_\_\_\_\_\_（log-three-value）。 答案：3 由 $\ln(1+3x)\sim 3x$，原极限为 $\dfrac{1}{3}$，所以 $k=3$。 3. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\arctan 5x}{x}=$ \_\_\_\_\_\_（arctan-five-value）。 答案：5 由 $\arctan 5x\sim 5x$，原极限为 $5$。 4. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}=$ \_\_\_\_\_\_（tan-minus-sin-value）。 答案：0.5 和差不能直接逐项替换，应使用扩展等价 $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$，极限为 $\dfrac{1}{2}$。 5. 关于等价无穷小替换，下列说法正确的是 * A. 在 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ 中可以把 $\sin x$ 换成 $x$ * B. 在 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x\tan x}{x^2}$ 中可以把 $\sin x$、$\tan x$ 都换成 $x$ * C. 在 $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 中可以用 $e^x-1\sim x$ 把分子换成 $0$ * D. 当 $x\to\infty$ 时可以直接使用 $\sin x\sim x$ 答案：B A是差式，逐项替换会丢掉主部；C的精度不够，应使用二阶等价；D的趋近方式不满足 $\sin x\sim x$ 的条件。B中乘积的两个因子分别替换后得到 $\dfrac{x\cdot x}{x^2}=1$，是正确的。