# 自然常数的重要极限

## 定义

当 $x\to\infty$ 时，$\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$。等价地，当 $t\to0$ 时，$(1+t)^{1/t}\to e$，其中 $t$ 取使表达式有实数意义的非零值。

## 性质

1. 极限类型：$1^\infty$ 型。$x\to\infty$ 时，底数 $1+\dfrac{1}{x}\to 1$，指数 $x\to\infty$。
2. 结构要求：$\lim_{\square \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{\square}\right)^\square=e$，或 $\lim_{\triangle \to 0}(1+\triangle)^{\frac{1}{\triangle}}=e$，方框与三角各自代表同一个变量或表达式。

**应用场景**

* 直接套用：符合 $\left(1+\dfrac{1}{\text{某式}}\right)^{\text{某式}}$ 且某式趋于 $\infty$，或符合 $(1+\text{某式})^{\frac{1}{\text{某式}}}$ 且某式趋于 $0$ 时，结果为 $e$。例如 $\lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e$（$n$ 为正整数）。
* 变形后套用：通过调整指数与底数，把表达式转化成标准结构。例如

  $$
  \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x
  =\lim_{x \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{x/2}\right)^{x/2}\right]^2
  =e^2.
  $$

  令 $\square=\dfrac{x}{2}$，$x\to\infty$ 时 $\square\to\infty$，先凑出 $\left(1+\dfrac{1}{\square}\right)^\square$，再用幂的运算法则。

## 证明

先看数列 $a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$。把 $a_n$ 按二项式展开，并比较 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的对应项，可得 $a_n$ 单调递增；再由展开式放缩可得 $a_n<3$。由单调有界准则，$a_n$ 收敛，把这个极限记作 $e$。

对实数 $x\to+\infty$，取 $n\le x<n+1$，由 $\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^n\le\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\le\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ 及夹逼定理，函数极限也等于 $e$。令 $t=\dfrac{1}{x}$，即得 $\lim_{t \to 0^+}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$。$t\to 0^-$ 时令 $s=-t$，令 $u=s/(1-s)$，则 $(1-s)^{-1/s}=(1+u)^{(1+u)/u}$，由右侧极限得到同一结果，因此 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$。

## 例子

**第二个重要极限的负指数情形**

令 $u=-x$，把底数化成 $1+\dfrac{1}{u}$ 的标准形式：

$$
\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x
=\lim_{x \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}
=e^{-1}.
$$

## 探索

交互演示：\$(1+1/n)^n\$ 怎样接近 \$e\$？。改变正整数n，观察第二个重要极限的数列形式。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 若 $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^x=e^k$，则 $k=$ \_\_\_\_\_\_（growth-three-value）。

   答案：3

   令 $\square=\dfrac{x}{3}$，原式 $=\left[\left(1+\dfrac{1}{\square}\right)^\square\right]^3\to e^3$，所以 $k=3$。

2. 若 $\lim_{x \to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=e^k$，则 $k=$ \_\_\_\_\_\_（growth-two-value）。

   答案：2

   $(1+2x)^{\frac{1}{x}}=\left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^2\to e^2$，所以 $k=2$。

3. 下列极限中，属于 $1^\infty$ 型的是

   * A.  $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$
   * B.  $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$
   * C.  $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$
   * D.  $\lim_{x \to \infty}\dfrac{x^2+1}{x^2}$

   答案：B

   底数 $1+\dfrac{2}{x}\to 1$，指数 $x\to\infty$，因而是 $1^\infty$ 型。A、C都是 $\dfrac{0}{0}$ 型，D是 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，极限为 $1$。