# 正弦的重要极限

## 定义

当 $x$ 以弧度表示并趋近 $0$ 时，$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。这里极限只考察 $x\ne0$ 的取值。

## 性质

1. 极限类型：$\dfrac{0}{0}$ 型。$x\to 0$ 时，分子 $\sin x\to 0$，分母 $x\to 0$。
2. 结构要求：分子是分母对应的正弦函数，即 $\lim_{\square \to 0}\dfrac{\sin\square}{\square}=1$，其中 $\square$ 是同一个变量或表达式，且 $\square\to 0$。

**应用场景**

* 直接套用：表达式符合 $\dfrac{\sin\text{某式}}{\text{某式}}$ 且某式趋于 $0$ 时，结果为 $1$。例如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=1$（令 $\square=2x$，$x\to 0$ 时 $2x\to 0$）。
* 变形后套用：分子分母的 $\square$ 不一致时，先通过凑项、调整系数把结构补成一致。例如

  $$
  \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x}
  =3\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{3x}
  =3\times 1=3.
  $$

  这里提取系数 $3$，把分母凑成 $3x$，结构才与模板一致。

## 证明

当 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 时，比较单位圆中三角形、扇形与三角形的面积，可得

$$
\sin x<x<\tan x.
$$

三边都为正，除以 $\sin x$ 得

$$
1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x},
$$

即 $\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$。由 $\lim_{x \to 0^+}\cos x=1$ 和夹逼定理，右极限为 $1$。又因为 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是偶函数，左极限也等于 $1$，所以 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。夹逼定理的表述见 [极限的四则运算与比较法则](/knowledge/maths/limits/limit-laws/)。

## 例子

**用第一个重要极限处理 $1-\cos x$**

先用半角公式把 $1-\cos x$ 写成平方，再凑出 $\dfrac{\sin\square}{\square}$ 的结构：

$$
\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}
=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}
=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2
=\frac{1}{2}.
$$

## 探索

交互演示：\$\sin x/x\$ 怎样被夹在两个函数之间？。在正侧观察夹逼关系。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 5x}{x}=$ \_\_\_\_\_\_（sin-five-value）。

   答案：5

   提出系数：$\dfrac{\sin 5x}{x}=5\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x}\to 5$。

2. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{2x}=$ \_\_\_\_\_\_（sin-over-two-value）。

   答案：1.5

   $\dfrac{\sin 3x}{2x}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to\dfrac{3}{2}$。